Zbadaj czy ciąg jest ogarniczony Sebastian Porowski: Dobry Wieczór Proszę o sprawdzenie zadania

	3n+1
Zbadaj czy ciąg an=		jest ograniczony
	n

na podstawie filmiku https://www.youtube.com/watch?v=b34leFnmSAg stwierdziłem ,że jest ograniczony z dołu liczbą 1 ,ponieważ w mianowniku nie może wystąpić 0

	3n+1
czyli powstaje coś takiego an=		>1
	n

Mam problem ze sprawdzeniem czy jest również ograniczony z góry po prostu tego nie rozumiem. Proszę o wsparcie.

ABC: przecież ten ciąg jest zbieżny , więc musi być ograniczony z dołu i z góry

ABC: and by the way poucz się trochę bo pytasz o banały

Janek191:

	1
an = 3 +
	n

więc 3 < a_n ≤ 4

Sebastian Porowski: skąd wiemy że ciąg jest pomiędzy liczbami 3 oraz 4 ?

Jolanta:

	3n+1
an=		=3+1n n jest liczbą naturalną podstawiaj sobie n=1,2,3 itd
	n

Leszek: a₁ = 4 , lim a_n = 3 , dla n→ ∞ , nalezy jeszcze pokazac ,ze ciag a_n jest ciagiem monotonicznie malejacym , dopiero wowczas mozna okreslic jego ograniczonosc .

Sebastian Porowski: Leszku i Jolanto dziękuje za pomoc ogarniam dalej to zadanie

Sebastian Porowski: Jak udowodnić czy g jest malejący cczy starczy jak bede tylko podstawiał liczby i pokazywał ze kolejne wyrazy ciagu maleja?

Jolanta: ciąg jest malejący jeżeli a_n−1<a_n

Jolanta: oj pomyłka a_n<a_n−1

Sebastian Porowski: a5=^{5*3 +1}₁ a5=16 a6= ^{6*3 +1}₁ a6=19 w takim wypadku każdy poprzedni wyraz ciagu jest mniejszy od nastepnego i ciag jest malejący dobrze rozumiem?

Jolanta:

3n+1		3n−1+1		(3n+1)(n−1)−3n2		−3n−1
	−		=		=		<0 malejący
n		n−1		n2−n		n2−n

Jolanta: Dobrze rozumiesz ale tak zapisujemy albo a_n+1−a_n >0 rosnacy a_n+1−a_n<0 malejacy dotyczy ciągu arytmetycznego i geometrycznego

Sebastian Porowski: Pani Jolanto w poście z 06.01 9:50 zastosowano zapis an=³ⁿ⁺¹₁ = 3+¹_n to jest ogólny wzór tego ciagu? Jak już określiłem,że ciąg jest malejący to jak określić granice? Pytam ,ponieważ nie wiem jak to zrobić tak samo mam problem z określeniem czy ciag jest zbieżny czy nie.

Sebastian Porowski: Czytałem linki ,które mi wysyłano tutaj ale wciąż mam problem z ogarnięciem tego.

Jolanta: Sebastian przepraszam ale wczoraj byłam już bardzo zmęczona i nie kontaktowałam.Ciąg jest malejący jeżeli wyraz następny jest mniejszy od poprzedniego np 11 ,9,7,5,3,1,−1,−3..... sprawdzam monotoniczność wiem,że widzisz,że ciag jest malejący ale zasadę pokazuję a₁=11 r=−2 a_n=a₁+(n−1)r a_n=11+(n−1)(−2)=11−2n+2=13−2n ogólny wzór tego ciagu a_n=13−2n a_n−1=13−2(n−1)=15−2n a_n−a_n−1=13−2n−(15−2n)=−2 an−a_n−1<0 ciąg jest malejący jeżeli podstawiasz za n liczbę to wszędzie ,gdzie występuje W twoim zadaniu

	1
an=3+
	n

	1
a1=3+		=4
	1

	1		1
a2=3+		=3
	2		2

	1		1
a3000=3+		=3
	3000		3000

	1		1
a1000000=3+		=3
	1000000		1000000

Widzisz,ze ciąg jest malejący ale robimy to tak

	1
an=3+
	n

	1
an−1=3+		n>1 n∊N
	n−1

1

1

1

1

n−1

−1

an−an−1=3+

−(3+

)=

−

=

=

n

n−1

n

n−1

n(n−1)

n−1

a_n−a_n−1 <0 c.malejacy (licznik ujemny,mianownik dodatni iloraz ujemny) albo sprawdzamy czy a_n+1−a_n jest większe czy mniejsze od 0

	1
wtedy an+1=3+
	n+1

Ciąg jest zbiezny jezeli ma granicę

	1
W twoim ciągu a1=4 dla n→∞		→0 zostaje 3 czyli ciąg ma granicę 3
	∞

jest on ograniczony z dołu i z góry

Jolanta: Widziałeś to ?

SEBASTIAN POROWSKI: Dzień dobry Widziałem to i powiem nawet więcej zaliczyłem te dziAł dzięki temu że udało mi się ogarnąć podobne zadanie bardzo serdecznie dziękuję za pomoc.