Udowodnij Staś: Udowodnij, że jeżeli x, y, z są dowolnymi liczbami to: ( x + y + z )² ≤ 3 ( x² + y² + z²) Sprawdź kiedy w tej nierówności może mieć miejsce równość. Zapisz uzasadnienie

Adamm:

	x+y+z		x2+y2+z2
(		)2 ≤		,
	3		3

bo y = x² jest wypukła ponieważ jest ściśle wypukła, równość może zajść wtedy i tylko wtedy gdy x = y = z

Staś: ta trójka w mianowniku też jest do kwadratu? dlaczego

Staś : Udowodnij, że jeżeli x, y, z są dowolnymi liczbami to: ( x + y + z )² ≤ 3 ( x² + y² + z²) Sprawdź kiedy w tej nierówności może mieć miejsce równość. Zapisz uzasadnienie

jc: Jeśli Ci się nie podoba eleganckie rozwiązanie Adamma... (x+y+z)²≤(x+y+z)²+(x−y)²+(y−z)²+(z−x)²=3(x²+y²+z²) Równość mamy dla x=y=z.

Staś : 😂 Dalej nie wiem skąd to jest... 🙈

jc: Nie potrafisz pomnożyć? (x+y+z)=x²+y²+z²+2xy+2yz+2zx Czy o coś innego pytasz?

Mila: II sposób ( trochę więcej pracy) 3 ( x² + y² + z²)≥(x+y+z)² Badamy znak różnicy: R=3 ( x² + y² + z²)−(x+y+z)² R=3x²+3y²+3z²−(x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz)= =2x²+2y²+2z²−2xy−2xz−2yz= =(x²−2xy+y²)+(x²−2xz+z²)+(y²−2yz+z²)= =(x−y)²+(x−z)²+(y−z)²≥0 R≥0, zatem nierówność prawdziwa równość zachodzi dla x=y i x=z i y=z⇔ dla x=y=z

Staś : Dzięki teraz już zrozumiałem.