oblicz salimali:

	a		b
wykaż że jeśli a>b≥1, to		<
	2+a3		2+b3

Kacper: np.

	x
Wystarczy pokazać, że funkcja f(x)=		jest malejąca na przedziale [1,+∞).
	2+x3

jc: Pewnie najłatwiej przekształcać równoważnie. A jak chcesz mieć ładny dowód, przesz na koniec wszystko w odwrotnej kolejności.

jc: Albo jak w szkole?

b		a		b(2+a3)−a(2+b3)
	−		=
2+b3		2+a3		(2+b3)(2+a2)

	(a−b)(a2b+ab2−2)
=		> 0
	(2+b3)(2+a2)

bo 2+a³>0 2+b³>0 a−b>0 a²b+ab²−2 ≥ a²+a−2 > 0

salimali: ale skad sie wzielo (a−b)(a²b + ab² − 2)?

an:

2+a3		2+b3
	>
a		b

2		2
	+a2>		+b2
a		b

	2		2
a2−b2>		−
	b		a

	a−b
(a−b)(a+b)>2
	ab

	2
a+b>
	ab

	2		2
a>b≥1,⇒a+b>2 oraz ab>1⇒		<2 czyli a+b>
	ab		ab

cnw.

jc:

	2
cnw=co należało wykazać? czyżby należało wykazać, że a+b>		?
	ab

PW: Też jak w szkole: Niech a=kb, (1) k>1, b≥1. Mamy udowodnić, że

	kb		b
(2)		<		.
	2+(kb)3		2+b3

Przekształćmy tę nierówność równoważnie dzieląc obie strony przez dodatnie b:

	k		1
		<
	2+(kb)3		2+b3

Mnożymy przez dodatnie mianowniki 2k+kb³ < 2+k³b³ 2(k−1) < kb³(k²−1) Dzielimy przez dodatnie b³(k−1)

	2
		< k(k+1)
	b3

Nierówność jest oczywista przy założeniach (1) − lewa strona jest mniejsza niż 2, a prawa większa niż 2. Oznacza to, że (2) jest prawdziwa dla dowolnych k>1 i b≥1, co kończy dowód.

PW: Korekta: − lewa strona jest niewiększa niż 2.