zbadaj zbieznosc calki asdf: zbadaj zbieznosc calki

	x13
∫		dx
	(x5+x3+1)3

Całka jest od 0 do ∞, nie wiedizałem jak to umieścić tam. Jak to pokazać? Trzeba przez coś ograniczyć, ale przez co i jak to potem pokazać?

Adamm:

x13		1
	~		dla x→∞
(x5+x3+1)3		x2

a ∫₁^∞ 1/x² dx jest zbieżna

asdf:

	x13
ograniczyłeś to przez		?
	x15

A te granice całkowania mogę sobie zmieniać w takim przypadku?

asdf: a taka całka na przyład? ∫₀^∞ √x e^−x dx ?

jc: √x ≤ (1+x)/2

	1+x
całkę z		e−x możesz bez problemu policzyć w przedziale [0,∞).
	2

Przy okazji będziesz miał oszacowanie z góry.

Mariusz:

	1		3
∫0∞x		e−xdx=∫0∞x		−1e−xdx
	2		2

	3
=Γ(		)
	2

Mariusz: Jeśli chodzi o tę pierwszą całkę to problemem może być rozkład na czynniki wielomianu x⁵+x³+1 ponieważ po wydzieleniu części wymiernej całki w liczniku funkcji podcałkowej nie otrzymamy wielomianu postaci c(5x⁴+3x²) gdzie c jest pewną stałą Możliwe że dlatego chcą tylko zbieżności

asdf: a z tym szacowaniem tego pierwiastka idzie jakoś wywnioskowac samemu czy ten trik trzeba sie na pamięć nauczyc?

jc: e^x ≥ 1+x stąd dla x>0 e^x = (e^x/n)ⁿ ≥ (1+x/n)ⁿ > xⁿ/nⁿ Dlatego e^−x ≤ nⁿ/xⁿ Biorąc n ≥ k+2 otrzymujesz

	(k+2)k+2
xk e−x ≤
	x2

Musisz tylko rozdzielić całkę na dwa przedziały np. [0,1] i [1,∞).