Funkcja odwrotna kasia: f_a: R−>R f_a (x) = 2^x Przyjmujemy, ze funkcja jest odwracalna, kiedy jest bijekcja. A więc, jeśli f_a jest określona R−>R, to nie jest surjekcja. A więc nie jest odwracalna. A czy funkcja posiada funkcję odwrotna na zbiorze R₊? Wydaje mi się, że tak i ze to będzie log₂ x. Czy może ktoś zweryfikować czy to dobre rozumowanie? I nie do końca rozumiem stwierdzenie "...odwrotna na zbiorze R₊", tj. R₊ −> R₊ czy R −> R₊? Słowo "na" wskazuje raczej na drugą opcję, ale warto zapytać.

kasia: Chyba, że jest to R₊ −> R ? Ale wtedy nie jest odwracalna.

Adamm: f_a nie jest odwracalna, tak posiada funkcję odwrotną "na zbiorze R₊", oznacza obcięcie do zbioru R₊, t. j., funkcja określona na zbiorze R₊, równa f_a na tym zbiorze

Adamm: odwracalność mamy ze względu na przeciwdziedzinę funkcja odwrotna nie zależy od przeciwdziedziny

kasia: Adam, właśnie na jednych zajęciach mówią nam, że wystarczy, ze jest injekcja. A na drugich zajęciach, że musi być bijekcja (to akurat zadanie z tych zajec) Mógłbyś mi jeszcze wskazać czy w poleceniu chodzi o R−>R₊ , R₊−>R₊ czy R₊−>R?

Adamm: mylisz funkcję odwrotną z odwracalną, a to inne pojęcia

kasia: Właśnie nie wiem czy chodzi o obcięcie argumentow czy zbioru wartości, czy obu?

Adamm: f:A→B istnieje funkcja odwrotna do f ⇔ f jest iniekcją f jest odwracalna ⇔ f jest bijekcją

kasia: To nie jest tak, że aby mieć funkcja odwrotna do f_a to f_a musi być odwracalna?

Adamm: skoro pytają się o funkcję odwrotną, to nie jest ważna przeciwdziedzina

Adamm: Nie. Funkcja może nie być odwracalna i mieć funkcję odwrotną

Adamm: Nie martw się, do życia ci to nie jest raczej potrzebne

kasia: O matko! Teraz to mam mętlik w głowie. Ale poczekaj sekundę, bo jestem w końcu ciekawa tego 2^x. Jeśli mam R₊−>R to ona dalej nie jest odwracalna, bo wciąż nie jest surjekcja, prawda? Jeśli mam R₊−>R₊ lub R−>R₊ to jest odwracalna, bo w obu przypadkach jest bijekcja?

kasia: Właśnie przeciwdziedzina jest ważna. Bo 2^x>0, ale jeśli mam R−>R to nie mam surjekcji. Z kolei jest miałabym R₊ to surjekcje bym miała.

kasia: I stad moje dopytywanie co powinnam zmienić na R₊ − dziedzinę czy przeciwdziedzinę, rozumiesz mnie?

kasia: Przyjmując, że funkcja odwrtona istnieje wtedy, jeśli funkcja jest odwracalna. (Jest odwracalna na całym swoim zbiorze wartości)

Adamm: funkcja jest odwracalna ⇒ funkcja odwrotna istnieje ale nie musi być implikacji odwrotnej z tego co podałaś jedynie R → R₊ jest bijekcją przeciwdziedzina jest ważna dla odwracalności, ale nie dla funkcji odwrotnej

kasia: Adam, rozumiem doskonale o co Ci chodzi. Jednak jeden z naszych cwiczeniowcow uparł się, że funkcja ma funkcję odwrtona jeśli ta początkowa jest bijekcja . R₊−>R₊ nie jest bo y należący (0,1) nie jest przyjmowany?

kasia: I ta funckja odwrotna to jak wcześniej pisałam, log₂ x?

Adamm: Twój ćwiczeniowiec może sobie myśleć co chce, ale nie sprawia to że jest to prawdą, i nawet profesorowie się mylą. co do drugiego pytania, tak

m: Jeśli rozumiesz funkcję odwrotną tak, jak relację odwrotną, to może się zdarzyć, że funkcja odwrotna nie będzie funkcją.

kasia: Ale prawda tez jest, że kolokwia sprawdza on, a klotnie z nim prowadzą donikąd. Dziękuję

Adamm: tak, f⁻¹(x) = log₂x, x>0

Adamm: To trzeba do niego przyjść na konsultacje

jc: Dodam, że tylko w jednej książce spotkałem się z definicją funkcji, jako zbiorem par (x,y) takich, że jeśli do zbioru należy (x,y) i (x,z), to y=z. Zwykle jednak dodaje się, że każdy element z pierwszego zbioru jest początkiem jakieś pary.

kasia: A jeśli mam funkcje odwrotna, do funkcji która nie jest surjekcja, to mówiło się, że funkcja posiada funkcję odwrotna ale nie na całej swojej przeciwdziedzinie?

jc: Tak, nie na całej przeciwdziedzinie, ale na dowolnym podzbiorze zbioru wartości. Ale to wszystko pewnie dobrze rozumiesz.

kasia: Dziękuję jc