Macierze, metoda Kroneckera-Capelliego Lusia: Witam, miałam takie zadanie na kolokwium, próbowałam go rozwiązać najpierw metodą Gaussa, a potem przejsc do Kroneckera−capelliego, jednak nie wychodzi mi. Stosując twierdzenie Kroneckera−Capelliego rozwiązać układ równań:

⎧	3x+y−2z=3
⎜	4x−2y−z=4
⎨	2x+4y−3z=2
⎩	x−3y+z=1

Bardzo proszę o pomoc

Lusia:

jc: x=1, y=z=0 Czy mamy więcej rozwiązań?

Lusia: ale jak do tego dojść? Gaussem?

jc: 3x+y−2z=3 4x−2y−z=4 2x+4y−3z=2 x−3y+z=1 I, IV, I+III, II+IV od razu dzielimy przez 5 x−3y+z=1 3x+y−2z=3 x+y−z=1 x−y=1 I+III=2 IV Możemy więc o jednym z tych równań zapomnieć. 3x+y−2z=3 x+y−z=1 x−y=1 4x−2z=4 2x−z=2 x−y=1 Znów możemy o czymś zapomnieć. 2x−z=2 x−y=1 Rozwiązanie x = dowolne y= 1+x z= 2x−2 Sprawdź (tzn. podstaw do oryginalnego układu równań, mogłem przecież coś pomylić).

Lusia: Dziękuję bardzo, zastanawiam się tylko czemu w poleceniu jest napisane, żeby Kroneckerem−Capellim

jc: Być może chodziło o coś takiego: u= v= w= 3 1 −2 4 −2 −1 2 4 −3 1 −3 1 u+v+2w=0 u, v są liniowo niezależne Nasze równanie ma postać: xu + yv + zw = u Widać, że możemy mamy u + t (u+v+2v)=u t = dowolny parametr x=1+t y=t z=2t

Mariusz: Tw Kroneckera Capellego pozwala stwierdzić czy układ nie jest sprzeczny Aby to sprawdzić wykorzystując to twierdzenie trzeba policzyć rzędy macierzy głównej i rozszerzonej Macierz główna to ta utworzona ze współczynników równań bez wyrazów wolnych Macierz rozszerzona to ta utworzona ze współczynników równań ale tym razem uwzględniamy wyrazy wolne 1. Liczysz rzędy i sprawdzasz czy są równe tzn czy układ nie jest sprzeczny 2. Sprowadzasz układ do postaci Cramera (macierz główna kwadratowa o niezerowym wyznaczniku) Z macierzy głównej wybierasz podmacierz o niezerowym wyznaczniku stopnia r (gdzie r to rząd macierzy policzony w punkcie 1.) Równania które nie zostały wybrane do podmacierzy ignorujesz natomiast niewiadome które zostały poza wybraną podmacierzą traktujesz jako parametry i przenosisz do kolumny wyrazów wolnych 3. Układ Cramera rozwiązujesz ulubionym sposobem np wyznacznikami,eliminacją, mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną czy jakimś rozkładem macierzy Macierz odwrotna bądź rozkład macierzy mają tę zaletę że jak już raz je znajdziesz to później stosunkowo łatwo możesz rozwiązywać układy z tą samą macierzą główną ale z różnymi kolumnami wyrazów wolnych jc zgadł rozwiązanie bo popatrzył na kolumnę x oraz na kolumnę wyrazów wolnych i porównał współczynniki