Uzasadnij że, wykaze ze Łysy:

	1
Wiedząc, że a + b = 1 uzasadnij, że a4 + b4 ≥
	8

Łysy: Bez delty bym poprosił, bo to jeszcze parę działów wcześniej.

student: weź Łysy wróć do podstawówki

Adamm:

1		1		1		1		1
	a4+		b4 ≥ (		a+		b)4 =		, bo y = x4 jest funkcją wypukłą
2		2		2		2		16

PW: (1) a⁴+b⁴≥2√a⁴b⁴=2a²b²=2(ab)²=2(a(1−a))²=2(a(a−1))².

	1
Funkcja f(a)=a(a−1) ma minimum równe		, a więc
	4

	1		1
(2) a4+b4≥2•(		)2=		.
	4		8

Nierówność w (1) jest wynikiem zastosowania nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną. Fakt, że

	1
a(a−1)≥
	4

jest do pokazania bez delty:

	1
a2−a−		≥0,
	4

jest równoważna oczywistej nierówności

	1
(a−		)2≥0.
	2

PW:

	1
Oj, uzasadnienie że a(a−1)≥		złe, ostatnie 5 wierszy nieaktualne. Chyba jednak trzeba
	4

znać trochę teorii funkcji kwadratowej. A w ogóle to

	1
a(a−1)≥−		,
	4

poddaję się.

PW: Spróbuję poprawić. Jest oczywiste, że co najmniej jedna z liczb a, b musi być dodatnia, przyjmijmy a>0. Gdyby a>1, to a⁴>1>1/8 i nie ma czego dowodzić. Jeżeli a∊(0,1), to a(1−a)∊(0, 1/4), a więc (a(1−a))²∊(1, 1/16) − nierówność (2) z 22:41 jest prawdziwa (z tym że uzasadnienie powinno brzmieć: funkcja f(a)=a(1−a) ma maksimum równe 1/4 ).

PW: I jeszcze jedna korekta: w wierszu 3. od dołu (a(1−a))²∊(0, 1/16) Pora spać.

jc: 1=a+b 1=(a+b)² ≤ (a+b)²+(a−b)² = 2(a²+b²) 1/4 ≤ (a²+b²)²=(a²+b²)+ (a²−b²)² = 2(a⁴+b⁴) 1/8 ≤ a⁴+b⁴ Jednak wykorzystanie wypukłości wydaje się najlepszym sposobem.

Eta: Z nierówności między średnimi potęgową i arytmetyczną

	a4+b4		a+b
4√		≥		/4
	2		2

	1		1
a4+b4≥ 2*		=
	16		8

c.n.w. https://pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Arednia_pot%C4%99gowa

jc: Eta, jak podniesiesz do 4 potęgi, to będziesz miała to, co napisał Adamm, czyli wypukłość funkcji x→x⁴.

Eta: Ja nie kwestionuję tego co napisał Adamm Podałam swoją wersję dowodu ( ze średnich)

PW: Ale w ogóle szło o jak najprostszy dowód (bez delty, to znaczy pytanie zadawał uczeń początkowej klasy liceum).