ciekawe zadanko z ciągiem arytmetycznym tomek3: Liczby naturalne, dodatnie, uporządkowane rosnąco, podzielono na grupy w następujący sposób : (1), (2,3), (3,4,5), ... itd. a następnie obliczono sumę wszystkich liczb z n−tej grupy oraz (n−1) grupy, gdzie n>1 i n należy do N+ Różnica tych sum jest równa 1306. Oblicz sumę liczb w n−tej grupie. A więc S_n−S_n−1=1306 S_n oznaczmy jako sumę n−wyrazowego ciągu b_n S₍n−1) oznaczmy jako sumę n−1 wyrazowego ciągu a_n I odnalazłem takie zależności : b₁ = a_n+1, r_an = 1, r_bn = 1 b₁=a_n+1=(a₁+n−1)+1 = a₁+n b_n=b₁+n−1=(a₁+n)+n−1 = a₁+2n−1 No i po podstawieniu do różnicy sum tych ciągów, wyszło mi, że : 2a₁+2n²+n−1=2612 No i dwie niewiadome, jedno równanie, czyli jeszcze są jakieś zależności, których ja nie zauważyłem. Pomożecie?

Pytający: Trzecia grupa to na pewno (3,4,5)?

tomek3: (4,5,6)* przepraszam, pomyłka

tomek3: pierwszy wyraz kazdej kolejnej grupy jest o 1 wiekszy od ostatniego wyrazu poprzedniej grupy

ICSP: (1) (2 , 3) (3 , 4 , 5 ) (4 , 5 , 6 , 7) ... pierwszy wyraz w ciągu : n ilość wyrazów w ciągu : n ostatni wyraz : 2n − 1

	n + 2n − 1
Sn =		* n = ...
	2

tomek3: @ICSP Tak jak pisałem wyżej, wkradł się błąd. Powinno być : 1 grupa : 1 2 grupa : 2,3 3 grupa : 4,5,6 4 grupa : 7,8,9,10 ... itd

Pytający: Pierwszy (najmniejszy) wyraz n−tej grupy jest równy (liczbie elementów w poprzednich grupach)+1. Ostatni (największy) wyraz n−tej grupy jest równy (pierwszemu wyrazowi (n+1)−szej grupy)−1. Wyrazy w każdej grupie tworzą ciąg arytmetyczny. g_n // n−ta grupa, n≥1 S_n // suma elementów w n−tej grupie |g_n|=n S₁=1 dla n>1:

	mingn+maxgn
Sn=		*|gn| // min/max to najmniejszy/największy wyraz w danej grupie
	2

	(1+n−1)(n−1)		n(n−1)
mingn=|g1|+...+|gn−1|+1=1+...+(n−1)+1=		+1=		+1
	2		2

	(n+1)n		n(n+1)
maxgn=mingn+1−1=		+1−1=
	2		2

Stąd:

n(n−1)

n(n+1)

n

n(n−1+n+1)

n

n(n2+1)

Sn=(

+1+

)*

=(

+1)*

=

2

2

2

2

2

2

	n(n2+1)		(n−1)((n−1)2+1)
Sn−Sn−1=		−		=1306 ⇒ n=30
	2		2

	30(302+1)
S30=		=13515
	2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=table%5Bn(n%5E2%2B1)%2F2,%7Bn,28,32%7D%5D

tomek3: @Pytający podobnie zacząłem w 1 poście mógłbyś zajrzeć i zobaczyć w którym momencie jest jakiś błąd, niedociągnięcie? bo trudno mi się trochę odnaleźć, zwłaszcza, że jestem przyzwyczajony do innej symboliki, np. max wyraz np ciągu (an) to an a ilość wyrazów, to n, te moduły itp powodują, że trochę ciężko mi to ogarnąć

Pytający: A skąd u Ciebie to: b₁=a_n+1 Przed tym błędów nie widzę, po tym już nie sprawdzałem. U mnie g_n to zbiór i stąd taki zapis. Acz nie dziwię się, że sprawia Ci problem, skoro nie widzisz różnicy między iloczynem zbiorów, a koniunkcją (tak a propos tematu o wartości bezwzględnej).

tomek3: @Pytający Wytłumacz mi zatem, czym różni się koniunkcja od iloczynu zbiorów? Bo mi się zawsze wydawało, że te dwie są ze sobą bardzo, bardzo ściśle powiązane. Jaka jest różnica np. między x=4 ∧ x=5 a x należy do {4} ∩ x należy do {5}

tomek3: b1= pierwszy wyraz ciągu (bn) an = ostatni wyraz ciągu (an) grupa w której zawiera się ciąg (an) poprzedza grupę w której zawiera się ciąg (bn) Zatem ostatni wyraz (an) jest równy pierwszemu wyrazowi (bn) + 1 tak samo jak : 2+3+4 5+6+7+8 pierwszy wryaz drugiego ciągu, to 5 = 4+1

Pytający: Ostatni zapis nie ma sensu. // od razu napiszę: "⇔" możesz czytać jako "jest równoważne z" x=4 ⇔ x∊{4} x=5 ⇔ x∊{5} (x=4 ∧ x=5) ⇔ (x∊{4} ∧ x∊{5}) ⇔ x∊{4}∩{5} ⇔ x∊∅ ∩ to działanie na zbiorach, natomiast "x∊{4}" czy "x∊{5}" zbiorami nie są Zresztą przeczytaj sobie definicję: https://pl.wikipedia.org/wiki/Cz%C4%99%C5%9B%C4%87_wsp%C3%B3lna#Definicje

tomek3: Czyli ta twoja "wielka różnica", ten wielki "zaburzacz merytorycznej poprawności" mojego postu, to fakt, iż użyłem iloczynu zbiorów na nierówności? Uważasz się za poważnego człowieka? (...)

tomek3: I mylisz się, x∊{4} czy x∊{5} to dokładnie dwa zbiory jednoelementowe.

tomek3: @Pytający napisałeś, że mój zapis : x należy do {4} ∩ {5} nie ma sensu, po czym sam zapisałeś : (x∊{4} ∧ x∊{5}) ⇔ x∊{4}∩{5} ⇔ x∊∅

tomek3: naprawdę nie rozumiem co tacy ludzie jak ty mają na celu pisząc takie rzeczy i tym samym prowokując innych...

Pytający: Co do "wielkiej różnicy" czy "zaburzacza merytorycznej poprawności" − to jedynie Twoja interpretacja. Jak ktoś je zupę widelcem, a wiesz do czego służy łyżka, nic byś mu nie zasugerował? "Uważasz się za poważnego człowieka?" Nie. "napisałeś, że mój zapis : x należy do {4} ∩ {5} nie ma sensu" Zanim siebie zacytujesz, przeczytaj jeszcze raz co faktycznie napisałeś, bo wymyślasz. Co do ciągów − no ok, rozumiem Twój zapis. Dość nieintuicyjnie to oznaczyłeś i sam się na tym machnąłeś, bo skoro (a_n) jest n−1 wyrazowy, to a_n w ogóle nie istnieje, ostatnim wyrazem ciągu (a_n) jest a_n−1. Znaczy powinno być: b₁=a_n−1+1=a₁+n−2+1=a₁+n−1 A dalej kombinuj sam, nie będę już Cię prowokował mymi dalszymi wywodami, pozdrawiam i milknę.

tomek3: Moja interpretacja? To patrz : "U mnie gn to zbiór i stąd taki zapis. Acz nie dziwię się, że sprawia Ci problem, skoro nie widzisz różnicy między iloczynem zbiorów, a koniunkcją (tak a propos tematu o wartości bezwzględnej)." No rzeczywiście, ta różnica między iloczynem zbiorów, a koniunkcją, jest tak olbrzymia i megawidoczna, że powinienem się chyba zapaść pod ziemię. Po co wypisujesz takie rzeczy? Co to miało na celu? Co do ciągów − pełna zgoda. Mój błąd.

jc: Istnieje związek, ale są to jednak inne pojęcia. Jest dzień i pada śnieg. Jest dzień ∩ pada śnieg. Nawet nie wiadomo, jak to odczytać. Naprawdę nikt tu złośliwie nie zwraca Ci uwagi, a mógłby. Czytałem kilka Twoich nieładnych wpisów.

tomek3: @jc Nigdy sam pierwszy tu nie zacząłem żadnej kłotni. Prawdą jest, że z mojej klawiatury padały "nieładne" wpisy − w stronę "PW" oraz teraz − "Pytający", nigdy jednak sam pierwszy nikogo nie obraziłem, nigdy sam pierwszy nie zacząłem słownej potyczki. Przykład? Daleko szukać nie musisz, bo w tym temacie. Mój post : "@Pytający podobnie zacząłem w 1 poście mógłbyś zajrzeć i zobaczyć w którym momencie jest jakiś błąd, niedociągnięcie? bo trudno mi się trochę odnaleźć, zwłaszcza, że jestem przyzwyczajony do innej symboliki, np. max wyraz np ciągu (an) to an a ilość wyrazów, to n, te moduły itp powodują, że trochę ciężko mi to ogarnąć" Jak odpowiada mi pan @Pytający? " (...) U mnie gn to zbiór i stąd taki zapis. Acz nie dziwię się, że sprawia Ci problem, skoro nie widzisz różnicy między iloczynem zbiorów, a koniunkcją (tak a propos tematu o wartości bezwzględnej). " Przeczytaj to sobie uważnie, po czym wnikliwie przeanalizuj fragment swojego postu : "naprawdę nikt tu złośliwie nie zwraca mi uwagi". Podobna sytuacja z panem @PW. Jak wygląda jego pomoc w temacie o modułach? Zamieszcza taki wpis : "Nie tylko lenie, ale i pitolenie czyli poszukiwanie jakiegoś cudownego sposobu mającego zastąpić myślenie. Słabo się robi przy lekturze wypowiedzi z 27 grudnia o 17:40." Wyzywa mnie od człowieka leniwego i "pitolącego". Zupełnie bez powodu. Nie pierwszy raz zresztą.

tomek3: np. 2−3 miesiące temu w moim, pierwszym temacie na tym forum, pisał innym ludziom, żeby mi nie pomagali, bo rzekomo, "źle zapisałem polecenie". Jestem na tym forum od niedawna, a naprawdę, jak Boga kocham, mam niektórych użytkowników po dziurki w nosie.

jc: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Różnica 3*3+4*5/2, ogólnie (n−1)²+n(n+1)/2. Kiedy (n−1)²+n(n+1)/2=1306? Po prostych oczywistych przekształceniach otrzymujemy n(n+1)=870, co daje n=30.

tomek3: @jc Co oznacza 3*3+4*5/2? Skąd to się wzięło? Tym bardziej to w postaci ogólnej.

jc: Spójrz na linie: 5 i 6. n=6 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16−11=17−12=18−13=19−14=20−15=5 (ogólnie n−1) Takich różnic masz 5 (czyli n−1). Do tego musisz dodać ostatni wyraz w 6 linii, tj. 6*7/2 (ogólnie n(n+1)/2). Różnica = 5*5+6*7/2, ogólnie (n−1)²+n(n+1)/2.

jc: Nie zauważyłem, że należy znaleźć sumę, a nie numer linii. W takim razie rozwiązanie Pytającego jest lepsze. Moje rozwiązanie można dokończyć tak: suma = n[n(n+1)/2 + n(n−1)/2 + 1]/2=n(n²+1)/2 = 30(30*30+1)/2=...