Rownania rozniczkowe Ania: Rozwiazac metoda operatorowa 4y"'−8y"−3y'−y=−8e^t z warunkami y"(0)=y'(0)=y(0)=0 Odp. y=e^t

Mariusz: L(y'''(t))= ∫y'''(t)e^−stdt=y''e^−st|₀^∞+s∫₀^∞y''(t)e^−stdt ∫y'''(t)e^−stdt=0−y''(0⁺)+sL(y''(t)) L(y'''(t))=−y''(0⁺)+sL(y''(t)) L(y''(t))=−y'(0⁺)+sL(y'(t)) L(y'(t))=−y(0⁺)+sL(y(t)) L(y''(t))=−y'(0⁺)+s(−y(0⁺)+sL(y(t))) L(y''(t))=−y'(0⁺)−sy(0⁺)+s²L(y(t)) L(y'''(t))=−y''(0⁺)−sy'(0⁺)−s²y(0⁺)+s³L(y(t))

	8
4s3Y(s)−8s2Y(s)−3sY(s)−Y(s)=−
	s−1

	8
(4s3−8s2−3s−1)Y(s)=−
	s−1

	8
Y(s)=−
	(s−1)(4s3−8s2−3s−1)

Teraz gdybyś chciał(a) rozwiązywać dalej to podczas rozkładu na sumę ułamków prostych otrzymał(a)byś następujący pierwiastek mianownika 4s³−8s²−3s−1=0 −8/12=−2/3 4 −8 −3 −1 2/3 4 −16/3 −59/9 −145/27 2/3 4 −8/3 −25/3 2/3 4 0 2/3 4

	2		25		2		145
4(s−		)3−		(s−		)−		=0
	3		3		3		27

	25		145
4y3−		y−		=0
	3		27

	25		145
y3−		y−		=0
	12		108

y=u+v

	25		145
(u+v)3−		(u+v)−		=0
	12		108

	25		145
u3+3u2v+3uv2+v3−		(u+v)−		=0
	12		108

	145		25
u3+v3−		+3(u+v)uv−		(u+v)=0
	108		12

	145		25
u3+v3−		+3(u+v)(uv−		)=0
	108		36

	145
u3+v3−		=0
	108

	25
3(u+v)(uv−		)=0
	36

(* Przyjęliśmy wcześniej że y=u+v więc nie możemy przyrównać tego czynnika do zera *)

	145
u3+v3=
	108

	25
uv=
	36

(* Jeżeli podniesiemy drugie równanie obustronnie do trzeciej potęgi to powyższy układ przyjmie postać wzorów Vieta dla równania kwadratowego*)

	145
u3+v3=
	108

	15625
u3v3=
	46656

	145		15625
t2−		t−		=0
	108		46656

	145		21025		15625
(t−		)2−		+		=0
	216		46656		46656

	145		5400
(t−		)2−
	216		46656

	145−30√6		145+30√6
(t−		)(t−		)=0
	216		216

	1
u+v=		(3√145−30√6+3√145+30√6)
	6

	2
s−		=u+v
	3

	4
s=u+v+
	6

	1
s=		(3√145−30√6+3√145+30√6+4)
	6

Czy aby na pewno rozwiązanie z odpowiedzi spełnia warunki początkowe ?