graniastosłupy matfizo: Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt równoramienny o ramieniu a i kącie α przy podstawie tego trójkąta. Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek jednej podstawy, leżący między ramionami, i krawędź drugiej podstawy, leżący naprzeciw tego wierzchołka. Płaszczyzna ta tworzy z płaszczyzną podstawy graniastosłupa kąt β. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość graniastosłupa.

iteRacj@:

	1
V=		h*Pp
	3

obliczamy pole podstawy:

	1
Pp=		a*a*sinα
	2

obliczamy długość trzeciego boku trójkąta w podstawie: b²=a²+a²−2a*a*cos α, b>0 b²=2a²(1−cos α) \\ tw. cosinusów b=√2a²(1−cos α)=a√2(1−cos α) obliczamy długość wysokości trójkąta w podstawie:

1		1
	d*b=		a2*sin α \\ wzory na pola podstawy
2		2

	a2sin α
d=
	b

obliczamy wysokość graniastosłupa:

h
	=tg β
d

	a2sin α
h=d*tg β=		tg β
	b

obliczamy objętość graniastosłupa:

	1		a2sin α		1		a3sin2α*tg β
V=		*		*tg β*		*a2sinα=
	3		b		2		6√2(1−cos α)

iteRacj@: W treści zadania kąt α jest przy podstawie trójkąta, a na moim rysunku między ramionami, więc rozwiązanie do poprawki niestety.

piotr:

	a3
V =		sin(π−2α)cos(π/2−α)tgβ
	2

iteRacj@: poprawione

	1
V=		h*Pp
	3

γ=180^o−2α obliczamy pole podstawy:

	1		1		1
Pp=		a*a*sin γ=		a*a*sin(180o−2α)=		a2sin(2α)
	2		2		2

obliczamy długość trzeciego boku trójkąta w podstawie:

	b/2
cos α=		b/2=a*cos α b=2a*cos α
	a

obliczamy długość wysokości trójkąta w podstawie:

1		1
	d*b=		a2*sin γ \\ wzory na pola trójkątów
2		2

	a2sin γ		a2sin(180o−2α)		a2sin(2α)		a*sin(2α)
d=		=		=		=
	b		b		2a*cos α		2cos α

obliczamy wysokość graniastosłupa:

h
	=tg β
d

	a*sin(2α)
h=d*tg β=		*tg β=a*sin α*tg β
	2cos α

obliczamy objętość graniastosłupa:

	1		1		1
V=		*a*sin α*tg β*		a2sin(2α)=		*a3*sin α*tg β*sin(2α)
	3		2		6

iteRacj@: oczywiście wzór na objetość graniastosłupa tak jak u piotra bez 1/3

	1
V=		a3*sin α*tg β*sin(2α)
	2