wykaż że maturaatakuje: Wykaż, że reszta z dzielenia liczby x=43¹³−17¹⁷ przez 10 jest równa 6.

wredulus_pospolitus: 43¹³ = (40 + 3)¹3 ≡₁₀ 3¹³ = 3*3¹² = 3*9⁶ ≡₁₀ 3*(−1)⁶ = 3*1 = 3 17¹⁷ = (20 − 3)¹⁷ ≡₁₀ (−3)¹⁷ = (−3)*3¹⁶ = (−3)*9⁸ ≡₁₀ (−3)*(−1)⁶ = (−3)*1 = −3 3 − (−3) = 6

maturaatakuje: Chyba nie bardzo rozumiem. Zaczęłam od tego, że reszta z dzielenia liczby przez 10 jest taka sama jak ostatnia cyfra tej liczny. Wiem, że co czwarta potęga liczby 43 ma taką samą cyfrę na końcu i 43¹³=43^3*4*43 oraz wiem, że co czwarta potęga liczby 17 ma taką samą cyfrę na końcu i 17¹⁷=17^4*4*17. Tak na "chłopski rozum" wiem jak to wytłumaczyć, jeżeli od liczby x, której ostatnia cyfra jest równa 3 odejmuję liczbę y, której ostatnia cyfra jest równa 7 i x>y to ostatnia cyfra wyniku to 6, ale nie wiem, jak zapisać to tak matematycznie. Mogę prosić o pomoc?

maturaatakuje: Z tym x może zły przykład, bo z treści zadania wynika, że x=43¹³−17¹⁷, więc załóżmy, że tam jest dowolna inna literka...

wredulus_pospolitus: zauważ, że 43ⁿ = (40 + 3)ⁿ dla dowolnej potęgi 'n' taki nawias będzie miał postać:

	n 1		n n−1
40n +		40n−1*3 + .... +		40*3n−1 + 3n (patrz temat: rozwinięcie

dwumianowe) więc wszystkie liczby poza 3ⁿ mają w sobie 40 ... czyli będą miały ostatnią cyfrę równą 0 ... więc NAS NIE INTERESUJĄ) analogicznie z 17ⁿ = (20 − 3)ⁿ więc ostatnia cyfra liczby x = 43¹³ − 17¹⁷ będzie taka sama co ostatnia cyfra liczby 3¹³ − (−3)¹⁷

maturaatakuje: Chyba już rozumiem. Nie miałam po prostu jeszcze tych tematów, dlatego chciałam iść trochę dookoła chyba. Dziękuję za pomoc, miłego wieczoru!

Adamm: 43¹³−17¹⁷ ≡ 3¹³−(−3)¹⁷ = 3¹³+3¹⁷ (mod 10) φ(10) = 4 3¹³+3¹⁷ ≡ 3+3 = 6 (mod 10)