macierz transponowana Paris: Hej, mam takie coś: Czy istnieją macierze A,B ∊ Mn (R) dla n≥2 (tzn A i B są kwadratowe i minimum 2x2), takie, że dla dowolnej macierzy kwadratowej X zachodzi równość AXB = X^t?

Paris: ktos cos jakis pomysl?

wredulus_pospolitus: Dla macierzy M_2x2 Załóżmy, że jest to prawda i dla DOWOLNEJ macierzy X mamy: AXB = X^t niech X = I wtedy: AB = I ... więc B = A⁻¹ (czyli A,B są odwracalne) skoro X jest dowolną macierzą, to niech X = B wtedy: AXB = ABB = IB = B = B^t ⇔ I = B^t*B⁻¹ ⇔ B = B^t (analogicznie A = A^t) więc wiemy, że: A = B⁻¹ A = A^t A⁻¹ = (A⁻¹)^t AXB = X^t XB = A⁻¹X^t XB = BX^t XB = B^tX^t XB = (XB)^t

	0 1 0 0		w x y z
niech X =		; B =

	y z 0 0
XB =

	y 0 z 0
(XB)t =

	w x y 0
czyli z = 0 (więc B =		)

	0 0 1 0		w x y 0
niech X =		; B =

	0 0 w x
XB =

	0 w 0 0
(XB)t =

	0 x y 0
czyli w = 0 (więc B =		)

teraz:

	a b c d
A =

	by ax dy cx
AB =

i ax = 0 ; dy = 0 cx = 1 ; by = 1

	0 (1/y) (1/x) 0
czyli A =

	m n o p
niech X =

	o/y p/y m/x n/x
AX =

	p o(x/y) n(y/x) m
(AX)B =

AXB ≠ X^t dla dowolnej macierzy X (patrz główna przekątna)

wredulus_pospolitus: Z pewnością jest jakiś łatwiejszy (szybszy) 'myk' w tym zadaniu, ale Algebry jakoś nigdy nie lubiłem i nie czułem się tutaj komfortowo.

Paris: hmmm okej dzieki. Widać masz doświadczenie w takich tematach, zrobiłem przez ten czas zupełnie inaczej i 20x dłuższe rozwiązanie. W sumie sam warunek XB = (XB)^t już nam rozwiązuje sprawę bo wtedy mamy, że X musi być symetryczna. Dzięki bardzo.

Bleee: X nie musi być symetryczna... Wystarczy że główna przekątna ma te same wartości Ale można było szybciej dojść do sprzeczności. Przed wyznaczanie A robimy

	1 0 0 0
Niech X =

	0 x 0 0
XB =

Stad x=0

	0 0 y 0
Wieb B =		więc nie jest odwracalna

Bleee:

	0 0 0 1
Albo jeszcze bierzesz X =		i także y=0 powinno wyjść co już całkowicie

dyskwalifikuje B

Bleee: Ostatni wpis jest nie istotny Bo przecież B = B^t więc x=y