równanie student: Poczytałem o równaniach różniczkowych i mam takie równanie, które nie wiem jak rozwiązać:

	x
y'' + 3y' − 4y =
	y

Jerzy: Pytałeś o poradę.Zacznij od równań pierwszego stopnia.

wredulus_pospolitus: chłopie ... małymi krokami a całki oznaczone masz w małym palcu

student: A do tego potrzebne są całki?

Mila: Potrzebne. Rozwiązywanie równań różniczkowych − przykłady. https://www.matematyka.pl/261648.htm

wredulus_pospolitus: powiem tak bez pochodnych nie ogarniesz całek bez całek (i pochodnych) nie ogarniesz równań różniczkowych

student: Nie no, ja ogarniam całki

Jerzy: Zacznij od równania o rozdzielonych zmennych.

student: A tu na tym forum są?

jc: Na pewno Mariusz coś poradzi.

student: To na początek coś łatwego

Adamm: y' = yx

Mariusz: To nawet nie jest jest równanie liniowe Nie widzę jak sprowadzić do równania pierwszego rzędu Można spróbować zapisać w postaci układu równań Układ równań zapisać w postaci symetrycznej i szukać niezależnych całek pierwszych Metoda postępowania zbliżona do tej dla równań cząstkowych

Mila: https://www.matematyka.pl/261648.htm

Mila: Masz tam przykłady z rozwiązaniami.

Mariusz: Co do wyjściowego równania to jeśli uda ci się je zapisać w postaci układu równań

du
	=f1(x,y,u)
dx

dy
	=f2(x,y,u)
dx

To możesz zapisać układ równań w postaci symetrycznej

du		dy		dx
	=		=
f1(x,y,u)		f2(x,y,u)		1

i szukać niezależnych całek pierwszych Jednak znaleźć te całki pierwsze nie jest aż tak łatwo

student: Adamm, y=0

Adamm: to jedno z rozwiązań, ale my szukamy wszystkich

Mariusz: To tylko jedno rozwiązanie Jerzy we wpisie z 20 gru 2018 19:14 dał ci poradę

wredulus_pospolitus: student ... trywialne rozwiązanie pomijasz y' = y*x

dy
	= y*x
dx

dy
	= x dx
y

	dy
∫		= ∫ x dx
	y

	x2
ln |y| =		+ C
	2

|y| = C₁*e^x2/2 y(x) = C₂*e^x2/2 ; C₂ ∊ R

Mariusz: Funkcje z y na jedną stronę równania a funkcje z x na drugą stronę równania i całkuj obustronnie

Mariusz:

	x
y'' + 3y' − 4y =
	y

u=y'

du		x
	=−3u+4y+
dx		y

dy
	=u
dx

du		dy		dx
	=		=
x   −3u+4y+   y		u		1

ydu		dy		dx
	=		=
−3yu+4y2+x		u		1

Jak znaleźć dwie niezależne całki pierwsze tego układu ?

student: czemu tam C wskoczyło przed e^x2/2 ?

Bleee: Ln a = b + c a = e^b+c =e^b*e^c =e^b*C₁ (e do potęgi jakiejś stałej daje stała)

Mariusz: Jak z Vaxem ćwiczyłem równania trzeciego i czwartego stopnia to dość łatwo się nauczył je rozwiązywać ba zdolny chłopak Jak z zefem próbowałem ćwiczyć całki nieoznaczone to już przy całkach z funkcyj wymiernych zrezygnował Nie wiem czy gdybym spróbował z tobą przećwiczyć równania różniczkowe czy byś już na początku wspólnej nauki nie zrezygnował Mam gdzieś spisaną listę tematów i można by się nimi po kolei zająć

student: Ja jestem bardzo chętny!

Mariusz: Tak jak już napisał Jerzy we wpisie 20 gru 2018 19:14 Trzeba zacząć od równań o rozdzielonych zmiennych pod warunkiem że całki masz przećwiczone Przy liczeniu całek oznaczonych miałeś wprowadzony wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki ? Pewne rzeczy z rachunku różniczkowego i całkowego wielu zmiennych mogą się przydać np w równaniach zupełnych czy przy wprowadzaniu rachunku operatorowego Z algebry przydałyby się liczby zespolone oraz rachunek macierzowy do sprawnego rozwiązywania układów równań liniowych Do układów równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach przydaje się też liczenie wartości i wektorów własnych

student: No jakieś tam całki umiem liczyć, a ten wzór Leibniza to nie wiem czy miałem, nie wiem o który chodzi

Adamm: @student https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Leibniza_(o_r%C3%B3%C5%BCniczkowaniu_pod_znakiem_ca%C5%82ki) całkowanie funkcji wymiernych wcale nie jest trudne, trochę głupio że zrezygnował w takim momencie

student: to chodzi o to, że na przykład całka z sint dt od 1 do x² po x to 2xsin(x²) ?

Adamm: tak

student: A no to miałem wtedy

Mariusz: https://imgur.com/a/hbecJFT https://imgur.com/a/qAQSaaT Oto spis równań Do tego dochodzą jeszcze zagadnienia Cauchyego zadania z treścią itp

Adamm: równania różniczkowe ci się przydadzą jeśli idziesz na kierunek techniczny

Mariusz: Adam ja temu zefowi dałem taki schemacik 1. Dzielenie pisemne licznika przez mianownik (Dostajemy wtedy sumę wielomianu i funkcję wymierną właściwą)

	L(x)		R(x)
∫		dx=∫W(x)dx+∫		dx
	M(x)		M(x)

2. Wydzielenie części wymiernej całki

	R(x)		R1(x)		R2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

M₂(x) ma te same pierwiastki co M(x) tyle że pojedyncze M(x)=M₁(x)M₂(x) Liczniki R₁(x) oraz R₂(x) znajdujemy metodą współczynników nieoznaczonych przyjmując że deg R₁(x) < deg M₁(x) deg R₂(x) < deg M₂(x) Mianowniki M₁(x) oraz M₂(x) można znaleźć także bez rozkładu mianownika M(x) na czynniki Liczymy NWD(M(x),M'(x)) biorąc kolejne reszty z dzielenia 3. Stosujemy rozkład na sumę ułamków prostych jednak po zrealizowaniu pierwszego i drugiego punktu mamy pewność że pierwiastki mianownika są pojedyncze i odrobinę łatwiej rozłożyć mianownik na czynniki Starałem się do niego pisać w podobny sposób jak u Krysickiego i Włodarskiego − najpierw minimum teorii później przykłady które nazywacie gotowcami a na koniec dawałem zadania do samodzielnego rozwiązania

Adamm: Teoria tak na początek może zwykłego człowieka przestraszyć. Trzeba od razu rzucić przykładem, potem ewentualnie teoria

Mariusz: Adaś pamiętasz jeszcze jak u ciebie w szkole gdy jeszcze byłeś uczniem wyglądały lekcje ? Pewnie tak bo kończyłeś szkołę później niż ja Starałem się przedstawić mu dany temat w taki sposób aby przypominał lekcje takie jakie pamiętałem ze szkoły

Adamm: W liceum. Nauczyciel tłumaczył głównie metodę, zwłaszcza na przykładach, nie zagłębiał się w zbędne szczegóły. Czasami podał jakąś ogólną regułę, jak te na rozwiązania równań postaci sinα = sinβ czy cosα = cosβ Dodam że był matematykiem (tzn. po studiach matematycznych)

Adamm: Inaczej też jest przez tekst, słownie, inaczej obrazowo Każdy odbiera informację wolniej lub szybciej w zależności od tego w jaki sposób są mu przekazywane Niektórzy to się nawet uczą przez dotyk

student: To co mam zrobić?

PW: Umówić się z dziewczyną. Pójdźcie do kina albo do teatru. Można do opery, ale to nudne jak równania różniczkowe. Powtórz dobrze to co już było − czeka cię egzamin (będą dowody!), niech to nie będzie rozczarowanie. Jeżeli tak bardzo nęcą cię równania różniczkowe to po sesji kup książkę, w której rzecz jest wyłożona od początku i studiuj, a nie szukaj w internecie szybkich sztuczek. Zauważ, że jest to forum dla gimnazjalistów i licealistów − taka była intencja założyciela. Nie szukaj tu porad jak rozwiązywać równania różniczkowe.

student: Ale przecież równania różniczkowe są bardzo ciekawe

student: gdzie jest Mariusz? Miał mnie uczyć

ite: może skorzystał z rady PW i jest w kinie ?

ite: Albo w teatrze. Tutaj polecam "Lekcję" Ionesco. Jest to sztuka o korepetytorze, który pozbawia życia niemogącą się nauczyć matematyki dziewczynę.

student: Chętnie bym obejrzał Pewnie jakaś komedia

ite: Ionesco to teatr absurdu. Na szczęście w życiu takie sytuacje się nie zdarzają.

Mariusz: Przeglądałem też jak amerykańcy kręcą filmiki o równaniach pierwszego rzędu i klasyfikują je w ten sposób 1. Równania różniczkowe o rozdzielonych zmiennych i równania sprowadzalne do równania o rozdzielonych zmiennych np podstawieniem 2. Równania różniczkowe liniowe i równania sprowadzalne do równania liniowego podstawieniem − jak w przypadku Bernoulliego i Riccatiego (z tym że w przypadku Riccatiego jest tak że gdy znamy całkę szczególną to możemy sprowadzić równanie do liniowego pierwszego rzędu a w przypadku gdy nie znamy całkę szczególnej to możemy sprowadzić je jedynie do liniowego drugiego rzędu ale wtedy znacznie trudniej się je całkuje) przez wprowadzenie parametru − jak w przypadku równania Lagrange−Clairaut 3. Równania różniczkowe zupełne i sprowadzalne do zupełnego za pomocą czynnika całkującego Czynnik całkujący łatwo znaleźć gdy jest on zależny tylko od jednej zmiennej W przypadku równania liniowego może trochę niepotrzebnie używają czynnika całkującego Bernoulli zakładał że rozwiązanie jest w postaci iloczynu dwóch funkcji Trochę zastanawiam się w jaki sposób mu przedstawić te równania różniczkowe

student: Teraz wiem, że jeżeli mamy równanie: y' + f(x)y = 0 to y = Ce^−F(x), gdzie F(x) = ∫f(x)dx

Jerzy: I brawo,zaczynaj tą przygodę od podstaw.Teraz poćwicz uzmiennianie stałej C.

student: Nie nie, teraz jest o rozwiązaniu takiego równania: y' + f(x)y = g(x)

Jerzy: Tak, to równanie pierwszego stopnia niejednorodne i zaczynasz od rozwiązania jednorodnego: y' + f(x)y = 0

student: Jeżeli y₁ jest rozwiązaniem równania y' + f(x)y = 0, oraz y₂ jest rozwiązaniem równania y' + f(x)y = g(x), to y₁ + y₂ także jest rozwiązaniem równania y' + f(x)y = g(x)

student: Dowód: (y₁ + y₂)' = f(x)(y₁ + y₂) = (y₁' + f(x)y₁) + (y₂' + f(x)y₂) = 0 + g(x) = g(x)

student: zamiast pierwszego znaku równości powinien być "+"

Jerzy: Rozwiąż konkretny przykład: y' − 2y = x²

Mariusz: Równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych to takie które możesz zapisać w postaci

dy
	=f(x)g(y)
dx

Zakładając że g(y) ≠ 0 dzielisz obustronnie przez g(y) i mnożysz obustronnie przez dx

dy
	=f(x)dx
g(y)

a następnie całkujesz obustronnie

	dy
∫		=∫f(x)dx
	g(y)

Po obustronnym scałkowaniu sprawdzasz czy przez to założenie g(y) ≠ 0 nie straciłeś jakichś rozwiązań a następnie dajesz odpowiedź Przykład

dy		x
	=−
dx		y

ydy
	=−x
dx

ydy=−xdx 2ydy=−2xdx y²=−x²+C y²+x²=C Rozwiązanie równania w postaci uwikłanej to y²+x²=C

student: y' − 2y = x² y = ax² + bx + c 2ax + b − 2ax² − 2bx − 2c ≡ x² −2ax² + x(2a − 2b) − 2c + b ≡ x²

⎧	−2a = 1
⎨	2a − 2b =0
⎩	−2c + b =0

	−1
a =
	2

	−1
b =
	2

	−1
c =
	4

	1		1		1
y = −		x2 −		x −
	2		2		4

∫−2dx = −2x + C

	1		1		1
Zatem y = −		x2 −		x −		+ Ce2x
	2		2		4

student: Dobrze?

Jerzy: Miałeś zastosować metodę uzmienniania stałej, czyli najpierw rozwiązujesz równanie: y' − 2x = 0

student: Nie miałem jeszcze tego

student: Nie wiem jak tak sie robi

Mariusz: y'+P(x)y=Q(x) Zakładamy że rozwiązanie jest w postaci y=u(x)v(x) i wstawiamy do równania u'(x)v(x)+u(x)v'(x) +P(x)u(x)v(x)=Q(x) u'(x)v(x)+u(x)v'(x) +P(x)u(x)v(x)−Q(x)=0 u'(x)v(x)+u(x)(v'(x)+P(x)v(x))−Q(x)=0 Zakładamy że v'(x)+P(x)v(x)=0 v'(x)=−P(x)v(x)

v'
	=−P(x)
v

ln|v|=−∫P(x)dx v(x)=e^−∫P(x)dx u'(x)v(x)+u(x)(v'(x)+P(x)v(x))−Q(x)=0 u'(x)e^−∫P(x)dx−Q(x)=0 u'(x)e^−∫P(x)dx=Q(x) u'(x)=Q(x)e^∫P(x)dx u(x)=∫Q(x)e^∫P(x)dxdx

Mariusz: @Jerzy: Zastosował metodę przewidywania która sprawdza się przy równaniach liniowych ostałych współczynnikach przy czym część niejednorodna musi być określonej postaci

Jerzy: Zgoda @Mariusz, ale chyba zaczął od czytania o metodzie uzmienniania stałej,więc niech najpierw to przećwiczy.

student: Nie czytałem jeszcze o tej metodzie

Jerzy: No to poczytaj i wracając do przykładu 18:58 zacznij od rozwiązania: y' − 2y = 0

student: no to y = Ce^2x

Mariusz: @student Przeczytaj mój wpis z 21 gru 2018 19:39 Tam masz sposób rozwiązywania po kolei

student: Tak już rozumiem ten sposób

Mariusz: y' − 2y = x² y=uv y'=u'v+uv' u'v+uv'−2uv=x² u'v+u(v'−2v)=x² v'−2v=0 v'=2v

v'
	=2
v

ln|v|=2x v=e^2x u'v=x² u'e^2x=x² u'=x²e^−2x

	1
∫x2e−2xdx=−		x2e−2x+∫xe−2xdx
	2

	1		1		1
∫x2e−2xdx=−		x2e−2x+(−		xe−2x+		∫e−2x)
	2		2		2

	1		1		1
∫x2e−2xdx=(−		x2−		x−		)e−2x+C
	2		2		4

	1		1		1
u=(−		x2−		x−		)e−2x+C
	2		2		4

y=uv

	1		1		1
y=((−		x2−		x−		)e−2x+C)e2x
	2		2		4

	1		1		1
y=−		x2−		x−		+Ce2x
	2		2		4

Mariusz: Po prostu ja na początku rozwiązywania nic nie zakładałem o funkcji v(x) w trakcie obliczeń wyszło że musi być to całka szczególna równania liniowego jednorodnego We wpisie z 21 gru 2018 19:39 masz tak naprawdę opisaną metode uzmiennienia stałej

student:

	v'
czemu z		= 2 jest przejście na ln|v| = 2x ?
	v

Rozumiem, że całkujesz obustronnie, ale według mnie przejrzyściej jest to napisać tak:

dv   dx
	= 2
v

dv
	= 2v
dx

1
	dv = 2dx
v

	1
∫		dv = ∫2dx
	v

ln|v| = 2x

Mariusz: Następne równanie liniowe chyba już sam rozwiążesz ?

student: No jasne

Mariusz: Tak by to było , trochę to skróciłem

Mariusz: Ja mógłbym ci jedynie podrzucić jakieś równanie ze zbioru zadań takiego jak Krysicki i Włodarski czy Filippow bo wymyślić od razu takie równanie które by się łatwo całkowało ...

student: Żadna całka mi nie jest straszna

student: Teraz mam temat który po angielsku sie nazywa "Exact Differential Equations"

Adamm: to są równania różniczkowe zupełne

Mariusz: Rozwiąż równanie (2x+1)y'=4x+2y

Mariusz: Ja uważam że za szybko chcesz iść a przećwiczenie równań o rozdzielonych zmiennych i liniowych no i co z równaniami sprowadzalnymi do równań o rozdzielonych zmiennych i do równań liniowych

Mariusz: Masz równanie M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Z twierdzenia Schwarza wiesz że pochodne mieszane są równe (tak na dobrą sprawę masz jeszcze dodatkowe założenia które muszą być spełnione aby były równe)

δF		δF
	=
δyδx		δxδy

stąd masz warunek na równanie zupełne

δM		δN
	=
δy		δx

Gdy ten warunek jest spełniony rozwiązujesz układ równań

δF
	=M(x,y)
δx

δF
	=N(x,y)
δy

wtedy F(x,y)=C jest rozwiązaniem równania w postaci uwikłanej Jednak uważam że powinieneś przećwiczyć wcześniejsze równania

student: Może te sprowadzalne będą później ale nie wiem

Mariusz: 21 gru 2018 18:59 W tym wpisie masz jak rozwiązywać równania o rozdzielonych zmiennych 21 gru 2018 19:39 W tym wpisie masz jak rozwiązywać równania liniowe 21 gru 2018 23:46 W tym wpisie masz jak rozwiązywać równania zupełne Ćwiczyłeś już rozwiązywanie równań zupełnych ?

student: Jeszcze nie, ale zaraz sie naucze

student: Musze wiedzieć co to są pola wektorowe

Adamm: Pole wektorowe to funkcja z Rⁿ w Rⁿ

Adamm: niektóre równania można sprowadzić do równań zupełnych, mnożąc je przez tak zwany czynnik całkujący

student: Te równania zupełne chyba rzadko się zdarzają?

Mariusz: Tak jak Adam napisał czasami możesz pomnożyć równanie przez tzw czynnik całkujący Czynnik całkujący najłatwiej znaleźć gdy zależy tylko od jednej zmiennej Rozwiąż równanie 2y(x²−y+x)e^2xdx+(x²−2y)e^2xdy=0

Mariusz: Zacznij od tego co jest twoim M(x,y) oraz N(x,y)

	δM		δN
Sprawdź czy zachodzi		=
	δy		δx

Rozwiąż układ równań

δF
	=M(x,y)
δx

δF
	=N(x,y)
δy

student: 2y(x²−y+x)e^2x + (x²−2y)e^2xy' = 0 f_x = 2y(x²−y+x)e^2x f(x,y) = ∫(2y(x²−y+x)e^2x)dx + g(y) I teraz to muszę scałkować?

student: f_y = (x²−2y)e^2x f(x,y) = ∫(x²−2y)e^2x na końcu tej całki wtedy dodaję h(x) i tam też wtedy po obliczeniu całki dodaje g(y)

Mariusz: Tak, zrób to co napisałeś Później twoja funkcja f(x,y) musi spełniać także drugie równanie

Adamm: najlepiej to od razu wziąć pochodną po igreku ze wzoru Leibniza

student: f(x,y) = ∫[(x²−2y)e^2x]dy

student: Chyba lepiej zacząć od całki z f_y ?

Mariusz: Możesz też w ten sposób że najpierw całkujesz pierwsze równanie względem x później całkujesz drugie równanie względem y a następnie wyznaczasz funkcje pełniące rolę stałych całkowania

Mariusz: ... albo tak jak zasugerował Adam wybierasz sobie jedno równanie z układu równań

δF
	=M(x,y)
δx

δF
	=N(x,y)
δy

całkujesz je aby otrzymać funkcję F a następnie różniczkujesz funkcję F i wyznaczasz funkcję pełniącą rolę stałej całkowania tak aby równanie którego nie wybrałeś także było spełnione

student: wyszło mi, że f(x,y) = x²e^2xy − y²e^2x + g(y) f(x,y) = x²e^2xy − y²e^2x + h(x) co to oznacza?

student: g(y) = h(x) = 0 ?

student: x²e^2xy − y²e^2x = C

Mariusz: Tak, odpowiedź jest poprawna

student: No to nie jest to takie trudne

Mariusz: Tak na dobrą sprawę to g(y)=C₁ ale także h(x)=C₁

Mariusz: Tak ale pisząc że powinieneś przećwiczyć także wcześniejsze równania miałem na myśli też to abyś się później nie pogubił w tych równaniach

student: Wiem, ale przy rozwiązaniu daje C.

Mariusz: Rozwiązując to równanie poszedłeś trochę na skróty bo nie sprawdziłeś czy aby na pewno jest zupełne Nie zaszkodzi też wypisać dane i dopasować je do podanego schematu

Mariusz: (2−9xy²)xdx+(4y²−6x³)ydy=0

student: Mam napisane, że równanie postaci P(x,y) + Q(x,y)y' = 0 jest zupełne jeśli P(x,y) i Q(x,y) reprezentują gradient funkcji f.

student: Wtedy funkcja f nazywa się po angielsku "potential function" i f(x,y) = C jest rozwiązanie równania

Adamm: Nie wiem po co używać angielskich słów w tym przypadku. f nazywa się potencjałem pola wektorowego (P, Q)

student: Nie wiedziałem jak to się nazywa po polsku

Mariusz: Adam a to przy pewnych założeniach nie lepiej wyjść z twierdzenia Schwarza aby otrzymać warunek na równanie zupełne ?

Adamm: To jest w gruncie rzeczy to samo

student:

	d2f		d2f
Czemu jeśli f(x,y) jest funkcją, to		=		?
	dxdy		dydx

Adamm: ogólnie tak nie jest https://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Schwarza

Mariusz: Dlatego pisałem o tych pewnych założeniach Na wikipedii napisali o istnieniu i ciągłości pochodnych mieszanych

student: Nie trzeba robić tego założenia, po prostu przy rozwiązywaniu wyszła by mi sprzeczność

Mariusz: Ale wtedy niepotrzebnie byś rozwiązywał równanie Jak chcesz jeszcze poćwiczyć to (2−9xy²)xdx+(4y²−6x³)ydy=0 2x(1+√x²−y)dx−√x²−ydy=0

	x		(x2+1)cos(y)
(		+2)dx+		dy=0
	sin(y)		cos(2y)−1

student:

	d2f		d2f
A jeśli		≠		, to czym jest f(x,y) ?
	dxdy		dydx

student: Twierdzenie Greena może się przydać przy wyznaczaniu tej potencjalnej funkcji

Mariusz: Twierdzenie Greena zamienia ci całkę krzywoliniową na podwójną przy pewnych założeniach więc nie widzę jak mogłoby ci się ono przydać

Mariusz: Według mnie założenia twierdzenia Schwarza muszą być spełnione aby zachodził warunek na równanie zupełne i aby

	dy
równanie P(x,y)+Q(x,y)		=0 można było nazwać zupełnym
	dx

student: Mam napisane, że jeśli pamiętam twierdzenie Greena to powinienem być w stanie skonstruować funkcję f, mając dane, że P_y = Q_x P(x,y) + Q(x,y)y' = 0

Mariusz: No to pokaż jak użyć tego twierdzenia Greena na jednym z trzech powyższych przykładów

student: No właśnie tego nie miałem, myślałem że ty coś o tym wiesz

Mariusz: Ja z twierdzenia Schwarza dostaję warunek na równanie zupełne a funkcje F(x,y) dostaję z układu równań który masz z tego że potraktowałeś lewą stronę równania jako różniczkę zupełną

student: A jak znajdywać czynnik całkujący?

Mariusz: Wybierasz sobie postać czynnika całkującego jakiego poszukujesz i wracasz do tego warunku na równanie zupełne który otrzymałeś z twierdzenia Schwarza

δP		δQ
	≠
δy		δx

ale

δμP		δμQ
	=
δy		δx

i dalej korzystasz z pochodnej iloczynu bądź liniowości pochodnej Tyko musisz zdecydować w jakiej postaci szukasz tego czynnika Na początek proponuję szukać czynnika zależnego od jednej zmiennej bo najłatwiej go znaleźć

student: A jest jakaś zależność kiedy będzie czynnik zależny od jednej zmiennej a kiedy od dwóch?

Mariusz:

	δμP		δμQ
Rozwiąż równanie		=
	δy		δx

przyjmując że μ(x,y)=φ(x) a następnie przyjmij że μ(x,y)=φ(y)

student: A skąd mam wiedzieć jak mam dane równanie to czy próbować rozdzielić zmienne czy potraktować jako równanie zupełne i szukać czynnika?

student: Bo na pierwszy rzut oka to te równania niewiele się różnią

Mariusz: Masz iloczyn dwóch funkcji Spróbuj od tego wyjść i skorzystaj z pochodnej iloczynu

Mariusz: Wrzuć tutaj obliczenia abym mógł je sprawdzić

Adamm: Twierdzenie Green'a bazuje na potencjałach pól wektorowych, więc coś ci w kościele dzwoni, ale raczej nie tym

Adamm: Co z kolei bazuje na Twierdzeniu Schwarza. Jeśli chodzi o sposób, to proponuję najpierw sprawdzić czy równanie jest o zmiennych rozdzielonych, niż szukać czynnika całkującego

Mariusz: Adam on teraz chce wyprowadzić warunek na czynnik całkujący więc poradziłem mu aby zaczął od czynnika zależnego tylko od jednej zmiennej i podczas tego wyprowadzania skorzystał z pochodnej iloczynu

Mariusz: Co do równania o rozdzielonych zmiennych to pisałem że zbyt szybko idzie z materiałem

Adamm: @Mariusz Wiem, mówiłem o 21:42, gdy student mówił że twierdzenie Green'a może się tutaj przydać. Chodziło o to żeby nie bawić się w tw. Green'a, i skorzystać z tw. Schwarza tak jak pisałeś wcześniej

Mariusz: Twierdzenie Greena to chyba jest stosowane do zamiany całki krzywoliniowej na całkę podwójną (oczywiście przy pewnych założeniach) Warunek na to aby całka nie zależała od drogi całkowania podobnie wygląda do warunku na różniczkę zupełną ale nie jest to tak do końca to samo

Adamm: Tak naprawdę to warunku na różniczkę zupełną używa się w jednym z dowodów twierdzenia Green'a. Więc nie tylko podobnie wygląda, ale jedno pociąga za sobą drugie

Mariusz: O twierdzeniu Greena student ma u Lei od str 369

Tojatpy: Popieprzone to jakies#!##! Ide jednak na humana

Mariusz: Spójrz na wpisy 21 gru 18:59 21 gru 2018 19:39 21 gru 2018 23:46 Pierwszy wymieniony wpis to równania o rozdzielonych zmiennych Drugi wymieniony wpis to równania liniowe Trzeci wymieniony wpis to równania zupełne Teraz równania pierwszego rzędu starasz się sprowadzić do jednego z tych równań

Mariusz:

	dy
Równania pierwszego rzędu możesz zapisać w postaci F(x,y,		)=0
	dx

student: No to jak mam sprowadzić do równania zupełnego to szukam czynnika. A do pozostałych jak sprowadzić?

Mariusz: Do równania o rozdzielonych zmiennych sprowadzasz równania podstawieniami Do równania liniowego sprowadzasz głównie podstawieniami chociaż czasem zadziała wprowadzenie parametru Do równania zupełnego sprowadzasz czynnikiem całkującym

δμ(x,y)P(x,y)		δμ(x,y)Q(x,y)
	=
δy		δx

Jak chcesz szukać czynnika całkującego zależnego od jednej zmiennej to zakładasz że μ(x,y)=φ(x) albo μ(x,y)=ψ(y)

δφ(x)P(x,y)		δφ(x)Q(x,y)
	=
δy		δx

dla czynnika zależnego tylko od x oraz

δψ(y)P(x,y)		δψ(y)Q(x,y)
	=
δy		δx

dla czynnika zależnego tylko od y Zauważ że w tym równaniu masz iloczyn funkcji więc rozwiązując powyższe równanie skorzystaj z pochodnej iloczynu

student: To teraz równania drugiego rzędu?

Mariusz: Za szybko chcesz iść Jeszcze nie opanowałeś równań pierwszego rzędu

student: To co mi jeszcze zostało z pierwszego rzędu?

Jerzy: Rozwiązać przynajmniej 50 przykładów różnego rodzaju równań pierwszego stopnia.

student: Już rozwiązałem co najmniej po jednym z każdego rodzaju, więc to chyba powinno wystarczyć

student: Nawet rozwiązałem równanie z egzaminu z poprzedniego roku i nie sprawiło mi to żadnych problemów

Mariusz: Właśnie nic nie przećwiczył poza tym o sprowadzaniu równań pierwszego rzędu do równań o rozdzielonych zmiennych , liniowych , zupełnych tylko mu wspomniałem

Mariusz: Tylko nie pokazujesz obliczeń abyśmy mogli je sprawdzić Po jednym przykładzie to trochę mało

student: To mogę teraz zrobić jakieś

Jerzy: y' + xy = xy³

student: y' = x(y³ − y)

dy
	= x(y3 − y)
dx

1
	dy = xdx
y3 − y

	1
∫		dy = ∫xdx
	y3 − y

	1
∫		dy = ∫xdx
	y(y−1)(y+1)

A		B		C		1
	+		+		≡
y		y−1		y+1		y(y−1)(y+1)

A(y−1)(y+1) + By(y+1) + Cy(y−1) ≡ 1

	1
y=1: 2B = 1 ⇒ B =
	2

y=0: −A = 1 ⇒ A = −1

	1
y=−1: 2C = 1 ⇒ C =
	2

	−1		1   2		1   2
∫(		+		+		)dy = ∫xdx
	y		y−1		y+1

	1		1		1
−ln|y| +		ln|y−1| +		ln|y+1| =		x2 + C
	2		2		2

coś z tym jeszcze zrobić?

Jerzy: Poczytaj n/t równania różniczkowego Bernoulliego.

Mariusz: Właśnie to jest przykład jednego z równań sprowadzalnych do równania liniowego

student: No ale sobie rozdzieliłem przecież

Jerzy: Źle dobrałem przykład.

Mariusz: student zauważył że jest to też równanie o rozdzielonych zmiennych Skorzystaj z własności logarytmu Potraktuj obie strony równania jako argument funkcji e^x i wyznacz y

Mariusz: Zasugerowałem się sposobem jaki zaproponował Jerzy Rozdzielenie zmiennych to oczywiście dobry pomysł

Jerzy: Racja Mariusz,ale podstawienie: z = y⁻² chyba upraszcza rozwiązanie.

Mariusz: Przy rozdzieleniu zmiennych występują dwa całkowania a tutaj po podstawieniu masz rozwiązanie równania jednorodnego (czyli rozdzielenie zmiennych) i uzmiennienie stałej

student: To wtedy będzie: −2ln|y| + ln|y−1| + ln|y+1| = x² + C

	|y−1|*|y+1|
ln(		) = x2 + C
	|y|2

|y−1|*|y+1|
	= ex2+C
|y|2

	y2−1
|		| = Cex2, C>0
	y2

y2−1
	= Cex2, C∊R
y2

	1
1 −		= Cex2
	y2

1
	= 1 − Cex2
y2

	1
y2 =
	1 − Cex2

	1
y =
	√1 − Cex2

student: a jak rozwiązać takie równanie:

	dy		dy
(		)5 − x		+ y = 0
	dx		dx

Mariusz:

	dy		dy
y=x		−(		)5
	dx		dx

Równanie Lagrange−Clairaut Różniczkujesz stronami , wprowadzacz parametr itp