Granica ciągu z cos Lolek: Jak policzyć granicę ciągu podniesioną do potęgi cos x, na przykład: lim (3n² + 2n + 1)^{cos 1_n} n−>∞

Jerzy: A ile wynosi granica: lim_n→∞cos(1/n) ?

Lolek: obliczyłem tym samym sposobem, jednak doktor prowadzący zajęcia wskazał, że to jest błędny sposób obliczania granicy w tym przypadku ja to zrobiłem tak, że skoro lim n→∞ 1/n = 0, to limn→∞cos(1/n) = 1, cos 0 = 1.

wredulus_pospolitus: lim (3n² + 2n + 1)^cos(1/n) = lim e^{ln((3n2 + 2n + 1)cos(1/n))} = = lim e^{cos(1/n)* ln(3n2+2n+1)} = e^{lim (cos(1/n)* ln(3n2+2n+1))} więc policz ile wynosi: lim ( cos(1/n)* ln(3n²+2n+1) )

wredulus_pospolitus: jest to STANDARDOWE przekształcenie przy granicach typu: lim (f(x))^g(x)

Jerzy: Czy symbol : ∞¹ jest symbolem nieoznaczonym ?

wredulus_pospolitus: Jerzy ... nie jest Ale szczerze mówiąc, to nie przyglądałem się samej granicy (mea culpa )

Lolek : Hmm, a gdybym miał do potęgi (sin2x)/x?

Jerzy:

	sin(2x)
limx→∞		= 0
	x

wredulus_pospolitus: sin(2x) = 2sinxcosx

	sinx
i korzystasz z limx−>0		= 1
	x

Jerzy: Jemu chyba jednak chodzi o granicę dla x → ∞

Lolek : Tak, to ma być granica ciągu, nie funkcji. Dlatego dziwił mnie taki przykład na kolokwium. Sposób na oddzielne policzenie granicy funkcji trygonometrycznej i skorzystanie z twierdzenia o arytmetyce granic nie uznał mój profesor. A na tym kolokwium w teorii nie mogło być funkcji i korzystania z twierdzeń do nich potrzebnych.

wredulus_pospolitus: to wtedy robisz z tw o 3 ciągach

Lolek : Hmm np. Coś takiego lim n−> oo (2x +1)^{cos x} = (2x +1)⁻¹≤(2x +1)^{cos x}≤(2x+1)¹ Chyba robię coś źle

wredulus_pospolitus: powyższa granica nie istnieje

Lolek : Hmm a mógłbym jakiś przyklad z garnica tym sposobem?

Jerzy: −1 ≤ sin2x ≤ 1

	1		sin2x		1
−		≤		≤
	x		x		x

	sin2x
Skrajne granice dążą do 0 , czyli: limx→∞		= 0
	x

Lolek : To znaczy z funkcją trygonometryczna w potędze

Jerzy: Przecież w liczniku jest funkcja trygonometryczna. Chyba sam nie wiesz, czego chcesz.