:) Snooopy: Hejo, Potrzebuję pomocy z dwoma zadaniami. 1. Ile rozwiązań ma równanie x1 + x2 + x3 + x4 = 31 gdzie każde x jest nieujemną liczbą całkowitą, a ile ma rozwiązań gdy każde x jest dodatnią liczbą całkowitą? 2. Rozmieszczono r = 31 kul w n = 5 komórkach. Ile jest wszystkich rozmieszczeń i ile jest takich rozmieszczeń, że żadna komórka nie jest pusta? Nie mam pojęcia jak ugryźć te zadania

wredulus_pospolitus: 1) wzór na kombinacje z powtórzeniami 2) analogiczne zadanie, tylko tutaj masz x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = (31−5) (bo żadna nie może być pusta)

Snooopy: Jeżeli dobrze rozumiem to:

	(4+31−1)!
1)		=.... <− i to jest dla sytuacji gdy x jest dodatnie całkowite.
	4!*(31−1)!

A gdy jest nieujemne, czyli istnieje sytuacja x₁=x₂=x₃=0 i x₄=3. Jestem zupełnie zielony w tym dziale matematyki 2) Tak samo tutaj. Co w przypadku gdy 4 mogą być puste i wszystkie kulki w jednym?

Pytający: 1) x1 + x2 + x3 + x4 = 31

	31+4−1 4−1		31+4−1 31
ma		=		rozwiązań całkowitych nieujemnych

x1 + x2 + x3 + x4 = 31 ma tyle rozwiązań całkowitych dodatnich, ile równanie: (x1+1) + (x2+1) + (x3+1) + (x4+1) = 31 x1 + x2 + x3 + x4 = 31−4

	27+4−1 4−1		27+4−1 27
ma rozwiązań całkowitych nieujemnych, czyli		=

2) Rozważ analogiczne równanie: x_i dla 1≤i≤5 niech oznacza liczbę kul w i−tej komórce, wszystkich kul ma być 31.

Snooopy: ale to nie powinno być wtedy (x₁+1)+(x₂+1)+(x₃+1)+(x₄+1)=35? bo x₁+x₂+x₃+x₄=31 =/= (x₁+1)+(x₂+1)+(x₃+1)+(x₄+1)=31

Snooopy:

	31+4−1		31+4−1
i średnio rozumiem dwumian Newtona, jak		=
	4−1		31

Przecież to sam dwa różne "mianowniki".

Snooopy: i średnio rozumiem dwumian Newtona, jak

31+4−1 4−1		31+4−1 31
	=

Przecież to sam dwa różne "mianowniki".

Snooopy: są XD Przepraszam za spam

wredulus_pospolitus:

n k		n!		n n−k
	=		=
		k!*(n−k)!

Maciess:

n m		n n−m
	=		z tego co kojarze

Pytający: (1) x1 + x2 + x3 + x4 = 31 (2) (x1+1) + (x2+1) + (x3+1) + (x4+1) = 31 Nie napisałem przecież, że to takie same równania, tylko że: (liczba rozwiązań całkowitych dodatnich równania (1)) jest równa (liczbie rozwiązań całkowitych nieujemnych równania (2)) Może bardziej obrazowo: x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 31, x_i≥1 (*) Podstawiamy y_i=x_i−1, wtedy y_i≥0, i x_i=y_i+1, otrzymujemy: (y₁+1) + (y₂+1) + (y₃+1) + (y₄+1) = 31, y≥0 (**) Rzecz jasna te podstawienia nie zmieniają liczby rozwiązań, bo rozwiązanie (y₁, y₂, y₃, y₄) równania (**) odpowiada rozwiązaniu (y₁+1, y₂+1, y₃+1, y₄+1) równania (*).

n k
	to symbol Newtona, nie dwumian Newtona.

https://pl.wikipedia.org/wiki/Symbol_Newtona https://pl.wikipedia.org/wiki/Dwumian_Newtona

	n k		n n−k
I		=		, ale to już wiesz.