Granica - de'Hospital Ola: Mam pytanie czy da się obliczyć tą granicę de'Hospitalem? Z góry b. dziękuję

	(Δx)2 − (Δy)2
lim (Δx,Δy)−>(0,0)
	√(Δx)2+(Δy)2

jc: |x²−y²| ≤ x²+y²

	x2−y2
|		| ≤ √x2+y2
	√x2+y2

Sam dopisz Delty. Jaki wniosek?

Ola: że jest równa zero, ale nie rozumiem zasady trzech funkcji, sama bym na to nie wpadłam, rozumiem tylko zasadę trzech ciągów i dlatego chciałam się zapytać czy da się tą granicę obliczyć de'Hospitalem?

jc: Dla funkcji jest tak samo, jak dla ciągów. Możesz jeszcze przejść do zmiennych biegunowych. x= r cos φ y = r sin φ Otrzymasz r [cos²φ − sin²φ]. Czy teraz wynik jest jasny?

Ola: niestety nie, ja rozumiem tylko twierdzenie o trzech ciągach w taki prosty sposób, żeby uzupełniać największą wartością po prawej i lewej stronie. Nie potrafię inaczej wymyślać tych ograniczeń jak np. tutaj. Wiem dlaczego te granice są równe zero, ale jak wpaść na pomysł z takimi granicami, żeby właśnie nimi ograniczyć?

jc: W tym zadaniu przejście do zmiennych biegunowych wyjaśnia sprawę. Wtedy po prostu r→0.

Ola: Nie mieliśmy jeszcze chyba zmiennych biegunowych. Ale zastanawiam się nad tym twierdzeniem o trzech funkcjach. Czy jest ono gdzieś dobrze wyjaśnione? Jaki jest sposób na to, aby dobierać odpowiednie ograniczające funkcje?

jc: Gdyby był sposób, to liczenie granic nie byłoby żadnym problemem.

Ola: To skąd mam wiedzieć jak dobierać odpowiednio te funkcje? Przecież musi być jakaś zasada, jeśli nie to łatwiej byłoby wygrać w lotto niż trafić odpowiednią granicę

the foxi: zmysł matematyczny, wprawa i troszkę wyobraźni

ABC: Ola niestety przypadkek dwu i więcej wymiarowy liczenia granic jest znacznie trudniejszy niż jednowymiarowy , takie życie

Ola: Zastanawia mnie jeszcze dlaczego w książce, w której jest rozwiązany ten przykład, jest on rozwiązany tak zawile:

	(Δx)2−(Δy)2
lim (Δx,Δy)−>(0,0)		= lim (Δx,Δy)−>(0,0)
	√(Δx)2+(Δy)2

	(Δx)2+(Δy)2−2(Δy)2
		=lim (Δx,Δy)−>(0,0) √(Δx)2+(Δy)2 −
	√(Δx)2+(Δy)2

	2(Δy)2
lim (Δx,Δy)−>(0,0)
	√(Δx)2+(Δy)2

Ola: Można go zrobić krócej i jest równie poprawnie?