matematykaszkolna.pl
równanie wielomianowe karol: jak rozpisać te równanie wielomianowe? 3x3+4x2+2x−4=0 nie wychodzi mi grupowanie i hohner xD
16 gru 18:55
Eta: W(2/3)=0
16 gru 18:59
Eta: lub tak (3x3−2x2) +(6x2−4x) +(6x−4)= ...
16 gru 19:06
Mariusz: Horner pozwoli ci wyzerować współczynnik przy x2 3 4 2 −4 −4/9 3 8/3 22/27 −1060/243 −4/9 3 4/3 2/9 −4/9 3 0 −4/9 3
 4 2 4 1060 
3(x+
)3+
(x+
)−
=0
 9 9 9 243 
 2 1060 
3y3+
y−
=0
 9 243 
 2 1060 
y3+
y−
=0
 27 729 
Teraz przyda się wzór skróconego mnożenia , grupowanie a następnie wzory Viety y=u+v
 2 1060 
(u+v)3+
(u+v)−
=0
 27 729 
 2 1060 
u3+3u2v+3uv2+v3+
(u+v)−
=0
 27 729 
 2 1060 
u3+3uv(u+v)+v3+
(u+v)−
=0
 27 729 
 1060 2 
u3+v3−
+3(u+v)(uv+
)=0
 729 81 
 1060 
u3+v3−
=0
 729 
 2 
3(u+v)(uv+
)=0
 81 
Dlaczego przyjęliśmy że te składniki są równe zero pisząc ten układ równań Bo mając daną postać iloczynową w drugim równaniu możemy łatwo stwierdzić kiedy jest ono spełnione Wcześniej przyjęliśmy że u+v=y więc nie możemy teraz przyrównać tego do zera zatem przyrównujemy do zera drugi czynnik
 1060 
u3+v3−
=0
 729 
 2 
uv+
=0
 81 
 1060 
u3+v3=
 729 
 2 
uv=−
 81 
Teraz ten układ równań przypomina nam wzory Vieta dla równania kwadratowego Przekształćmy go tak aby rzeczywiście był on wzorami Vieta dla równania kwadratowego
 1060 
u3+v3=
 729 
 8 
u3v3=−
 531441 
 1060 8 
t2−
t−
=0
 729 531441 
 530 280908 
(t−
)2−
 729 531441 
 530−√280908 530+√280908 
(t−
)(t−
)
 729 729 
 1 
u=
3√530−√280908
 9 
 1 
v=
3√530+√280908
 9 
 1 
y=
(3√530+√280908+3√530−√280908)
 9 
 4 1 
x+
=
(3√530+√280908+3√530−√280908)
 9 9 
 1 
x=
(3√530+√280908+3√530−√280908−4)
 9 
Teraz aby znaleźć pozostałe pierwiastki bądź sprawdzić czy jest to jedyny rzeczywisty pierwiastek dzielisz wielomian przez dwumian chyba że znasz zespolone wtedy wystarczyłoby dopasować pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki do układu równań
 1060 
u3+v3=
 729 
 2 
uv=−
 81 
16 gru 22:05
Eta: Tak jak napisałam krótko i na temat ! W(x)=(3x3−2x2)+(6x2−4x)+(6x−4)=x2(3x−2)+2x(3x−2)+2(3x−2)=(3x−2)(x2+2x+2) rozkład w zbiorze R
16 gru 22:38
Mariusz: Sposób który pokazałem działa na wszystkie równania trzeciego stopnia Liczby zespolone mogłyby być przydatne ale licealistom można przedstawić sposób z trygonometrią w przypadku gdyby równanie kwadratowe które otrzymaliśmy nie miałoby pierwiastków rzeczywistych
16 gru 23:16
Eta: Pisz podręczniki emotka
16 gru 23:22
Mariusz: Eta jesteś dowcipna http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Tutaj w pewnym momencie jest odnośnik do Śniadeckiego http://bcpw.bg.pw.edu.pl/dlibra/docmetadata?id=1342 ale mam wątpliwości co do poprawności przedstawionego tutaj sposobu Jednak warto poczytać tę książkę chociażby ze względu na to aby porównać jak zmienił się język od tego czasu
16 gru 23:48
jc: Mariusz, faktycznie język się zmieni i pisownia się zmieniła. Ale rachunki tego rodzaju sensu nie mają.
16 gru 23:55
Jolanta: Warto pamiętać,że jeżeli pierwiastkiem jest ułamek to licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego a mianownik wyrazu przy najwyższej potędze
17 gru 00:02
Mariusz: Jolanta tak ale to tylko działa na pierwiastki wymierne a i współczynniki takiego wielomianu muszą być całkowite
17 gru 00:06
Mariusz: jc u Krysickiego i Włodarskiego masz kilka zadań z treścią które prowadzą do równania trzeciego stopnia (coś z objętością)
17 gru 00:11