Objętość bryły, będącą sferą przeciętą przez płaszczyznę
KuririnSSJ4: Witajcie! Mam mały problem. Mam do policzenia objętość pewnej bryły o ograniczeniach:
x2 + y2 + z2≤4 i x+y ≥√2
Problem jest w tym, że nie mogę znaleźć odpowiednich ograniczeń. Próbowałem zrobić to używając
współrzędnych sferycznych, ale to drugie ograniczenie nie daje mi spokoju.
Ma ktoś z Was jakiś pomysł?
15 gru 23:20
jc: Zamień nierówność x+y≥√2 na nierówność z≥1. Będzie prościej.
15 gru 23:23
jc: Bez całkowania. Pole odciętej sfery to 1/4 pola całej sfery. Objętość rożka to 1/4 objętości
całej kuli, czyli 8π/3. Objętość stożka = π. Różnica czyli szukana objętość = 5π/3.
15 gru 23:29
KuririnSSJ4: Na jakiej podstawie mogę tak zamienić nierówność?
15 gru 23:29
Adamm:
Bo pole się nie zmienia przy obrotach
15 gru 23:32
Adamm:
Objętość, jedno i to samo
15 gru 23:33
jc: Płaszczyzna leży w odległości 1 od środka kuli i to wystarczy.
15 gru 23:33
KuririnSSJ4: No dobra, nawet przy zamianie nierówności nie chce wyjść niestety. Dostaję ograniczenie
1/sin(x) ≤ r ≤2 i potem muszę całkować 1/sin(x)3, co też nie jest zbyt przyjemne.
Zadanie bardziej pod kolokwium, więc jednak wolałbym to zrobić całką. Geometrycznie tego tak do
końca nie widzę, więc wolałbym móc to zrobić przy pomocy całki.
16 gru 00:32
KuririnSSJ4: A dobra, nie ważne. Użyłem współrzędnych walcowych i wynik wyszedł 5π/3
Dzięki wielkie!
16 gru 00:34