granice 4xel: jak to poprawnie rozwiązać ?

	8−x
lim
	sin1/8πx

x→8

Jerzy: Reguła H.

Mariusz: L'Hospital rule gives here so called circular reasoning

Jerzy:

	−1
= lim		= 8
	1/8*cos(1/8πx)

Jerzy:

	8
Zgubiłem π po 1/8 w mianowniku... =
	π

Mariusz: Jerzy pokaż jak liczysz pochodną mianownika wsk Trzeba liczenie pochodnej pokazać z tzw definicji

Jerzy: A kto powiedział,że mamy liczyć pochodną z definicji ?

Mariusz: Aby pokazać że tzw reguła H się tutaj zapętla

Jerzy: Gdzie się zapętla ?

Mariusz:

(8−x)−0   limx→8   x−8
sin(1/8πx)−sin(π)   limx→8   x−8

8−x   limx→8   x−8
sin(1/8πx)   limx→8   x−8

czyli mamy pętelkę w mianowniku Gdybyś pisał program do obliczeń symbolicznych to reguła H dałaby ci nieskończoną pętle

Jerzy: Jaka jest pochodna funkcji f(x) = sin(a*π*x) ?

Mariusz: Masz pokazane dlaczego reguła H się pętli aby policzyć pochodną funkcji sin(aπx)

	sin(x)
trzeba obliczenia sprowadzić do granicy limx→0
	x

a następnie po krótkiej analizie geometrycznej wziąć potrzebne do trzech ciągów nierówności P.S. Nie wiem czemu cię wypuścili ze szkoły średniej skoro tego nie wiesz

Jerzy: Nie odpowiedziałeś na moje proste pytanie. I zadam ci jesze jedno. Od kiedy przy stosowaniu reguły H wymagane jest liczenie pochodnych z definicji ?

Jerzy: I proszę bez osobistych wycieczek, jeśli wiesz, co to oznacza ?

Adamm: sin(x) = Im(e^xi) (sin(x))' = Im((e^xi)') = Im(ie^xi) = cos(x) Kto powiedział że liczenie z definicji jest jedyną metodą liczenia pochodnych? Proszę nie korzystać z tego forum jako miejsca Pana osobistych potyczek, bo to jest śmieszne

Jerzy: Do kogo jest ta ostatnia uwaga ?

Adamm: @Mariusz, oczywiście

Mariusz: Adam nie masz pojęcia o nauczaniu Wprowadzałbyś zespolone tylko po to żeby policzyć pochodną funkcyj trygonometrycznych chociaż i tak nie pokazałeś prawdziwości twoich równości "Kto powiedział że liczenie z definicji jest jedyną metodą liczenia pochodnych?" Akurat do pokazania że reguła H będzie się pętlić trzeba to pokazać licząc granicę

Mariusz: Gdyby 4xel "policzył" tę granicę zgodnie z tym co mu proponujecie to by dostał za to 0 pkt na egzaminie czy coloquium W liceum na używanie L'Hospitala do liczenia granic w ten sposób nie zwracano aż tak bardzo uwagi ale na studiach ćwiczeniowiec zwrócił mi

	sin(x)
na to uwagę gdy chciałem LHospitalem granicę limx→0
	x

Mariusz: ale to od razu widać reguła H będzie się pętlić bo

sinx		sinx−sin0
	=
x		x−0

	sinx
czyli limx→0		to pochodna sinusa w zerze a jak wygląda reguła H
	x

jc: Mariusz, reguła H przydaje się właśnie w symbolicznych rachunkach. No i jest dobrym tematem zadań. Nie widziałem żadnych innych zastosowań. Adamm, Twój rachunek jest z definicji. Z definicji funkcji sinus

jc: Mariusz, umawiamy się (sin x)'=cos x, x' = 1 i nic się nie pętli. Faktycznie, sinus i kosinus można zdefiniować kilkoma równościami: (sin x)' = cos x, (cos x)' = − sin x, sin 0 = 0, cos 0 =1 Jeszcze trzeba zdefiniować π jako najmniejszą liczbę dodatnią taką, że cos π/2 = 0.

Jerzy: @ Mariusz , jesteś niezły w te klocki, ale nie przeginaj.Nie zawsze masz rację i musisz się z tym pogodzić.

Mariusz: jc wiem tylko aby to pokazać trzeba policzyć granicę

	sin(x+h)−sin(x)
limh→0
	h

	sin(x)cos(h)+cos(x)sin(h)−sin(x)
limh→0
	h

	sin(x)cos(h)−sin(x)+cos(x)sin(h)
limh→0
	h

	sin(x)(cos(h)−1)+cos(x)sin(h)
limh→0
	h

	sin(x)(cos(h)−1)		cos(x)sin(h)
limh→0		+limh→0
	h		h

	cos(h)−1		sin(h)
sin(x)limh→0		+cos(x)limh→0
	h		h

	cos(h)−1
Aby policzyć granicę limh→0		mamy dwie możliwości
	h

1. Przejście na kąty połówkowe 2. Domnożenie takiej jedynki aby możliwa była zamiana cosinusa na sinusa z wykorzystaniem jedynki trygonometrycznej

	cos(h)−1		(cos(h)−1)(cos(h)+1)
limh→0		=limh→0
	h		h(cos(h)+1)

	cos2(h)−1
=limh→0
	h(cos(h)+1)

	−sin2(h)
=limh→0
	h(cos(h)+1)

	−sin(h)	sin(h)
=limh→0
	cos(h)+1	h

	−sin(h)		sin(h)
=limh→0		limh→0
	cos(h)+1		h

	0
=−		*1=0
	1+1

	sin(h)
Jeżeli chcemy policzyć granicę limh→0
	h

to chyba najlepszym pomysłem będzie skorzystanie z trzech ciągów (funkcji) Jakie równości masz na myśli s(0)=0 c(0)=1 c²(x)+s²(x)=1 c(x+2kπ)=c(x) s(x+2kπ)=s(x) gdzie k∊ℤ Dla licealistów powinna wystarczyć taka definicja sinusa Na okręgu o środku w punkcie O promieniu jednostkowym obieramy punkt P i rzutujemy go na oś odciętych Punkt zrzutowany na oś odciętych nazwijmy P' Stosunek długości boku naprzeciw kąta P'P do długości promienia OP to sinus kąta Tak tylko czy oni autorowi pytania zaakceptują taką umowę Mogą mu tego nie zaakceptować skoro mnie ćwiczeniowiec zwrócił uwagę

Jerzy: @ 21:33 ..... ten Twój "ćwiczeniowiec" , to Twój guru ? Też miałem kidyś na PO asystenta, ale trochę inaczej traktował ten temat.

Jerzy: Miało być PK ( Politechnika Krakowska), ale palec się "omsknął"

jc: Mariusz, nie trzeba. Jeśli założysz, że (sin x)' = cos x, to nie nie masz czego dowodzić, no bo jak byś chciał udowodnić coś, co jest założeniem? Prostszy przykład (choć właściwie to samo). Niech e(x) będzie taką funkcją, że e'(x)=e(x) i e(0)=1. Udowodnij, że e'(x)=e(x). Przecież to bez sensu.

Adamm: nie ma sprzeczności w skorzystaniu z reguły l'Hospitala, więc nie ma o czym dyskutować skądinąd wiemy że (sin(x))' = cos(x), i tego się trzymamy

Adamm: Nie ma niczego złego w "odświeżaniu swojej pamięci". Powiedzmy że zachodzi q, ale zapomnieliśmy że zachodzi q. Udowodniliśmy wcześniej że q ⇒ p, stąd wiemy że p. Ale p ⇒ q. Czy jest błędem powiedzieć, że q? Oczywiście że nie!

	sin(h)
Założę się że większość inżynierów nie wie że (sin(x))' = cos(x) bo limh→0		= 1.
	h

Dla kogoś takiego jak matematyk, który dowodzi tych wszystkich wzorów własnoręcznie, to może być błąd, ale zwykły człowiek nie pamięta że ta granica tyle wynosi, ale wie ile to jest pochodna z sinusa. Co to są liczby rzeczywiste? Tego się nie uczy, ani w szkole, ani na studiach, no chyba że matematycznych. A przecież każdy używa ich z radością.

jc: Adamm, Twój sposób jest lepszy od granicy (sin h)/h. e^ix= cos x + i sin x (e^ix)'= i e^ix (cos x)' + i (sin x)' = i (cos x +i sin x) Stąd (cos x)' = − sin x, (sin x)' = cos x.

Mariusz: Tak tylko że wprowadza liczby zespolone poza tym też nie uzasadnia dlaczego pochodna z e^x to e^x Skoro do mnie się ćwiczeniowiec przyczepił to i do 4xela może jc naprawdę kiedyś wykładałeś czy tylko się chwalisz ?

Adamm: e^z = ∑_n=0^∞ zⁿ/n!, szereg zbieżny bezwzględnie na C (e^z)' = (∑_n=0^∞ zⁿ/n!)' = ∑_n=1^∞ nzⁿ⁻¹/n! = ∑_n=0^∞ zⁿ/n! = e^z mogę tak dalej tylko po co mam ci to udowadniać?

jc: Mariusz, kiedy się pochwaliłem? Nie pamiętam. Twój sposób jest dobrym ćwiczeniem na powtórzenie wzorów trygonometrycznych.

Mariusz: Licealistom podaje się jednak "geometryczną" definicję funkcyj trygonometrycznych a liczbę e definiuje się za pomocą granicy podanej przez Daniela Bernoulliego

jc: Mariusz, przy takich definicjach trudno jednak zachować ścisłość. Geometryczna definicja sinusa wymaga definicji długości łuku, choć można się bez tego obyć. Potrafimy kąt podzielić na pół, a więc potrafimy zmierzyć kąt z dowolną dokładnością. Tylko musimy mieć jakiś kąt odniesienia. W szkole jest to 360 stopni lub tajemnicze 2π, bo jest to długość łuku. Jak zdefiniujesz długość łuku? jako kres górny długości łamanej? A potem, jak sobie ściśle poradzisz z dowodem.

Mariusz: ... i to jeszcze trzeba pokazać w sposób zrozumiały dla licealistów Ja pochodne i regułę de L'Hospitala miałem jeszcze w liceum mimo iż nie miałem już w liceum zespolonych a i jestem prawie 2x starszy od Adasia (wczoraj rozpoczął się kolejny rok życia) więc nie pamiętam dokładnie jak w szkole radziliśmy sobie z definicją długości łuku