pochodne, funkcje okreslone Tosia: Co to znaczy , że funkcja jest określona w pewnym otoczeniu? Wyczytałam, że to znaczy , że przyjmuje skończone wartości Czyli np. pi ne jest skonczona wartoscia? Jakie są jeszcze inne przykłady nieskończonych wartości? Liczymy pochodne tylko tam gdzie funkcja jest okreslona czyli np. nie można policzyć pochodnej na koncach przedziału, tak? Albo np. gdy mam funkcję y=x pi to też nie mogę policzyć jej pochodnej? Bo nie ma określonych wartości ?

jc: To znaczy, że że otoczenie danego punktu zawarte jest w dziedzinie funkcji. Czasem warto mówić o granicy jednostronnej lub pochodnej jednostronnej. Co miałeś na myśli, pisząc o skończonej wartość?

PW: Nie ma czegoś takiego jak "nieskończona wartość". Mówienie o skończonych wartościach to przesadne (niepoprawne matematycznie) tłumaczenie oczywistego założenia − aby mówić o pochodnej funkcji w punkcie x₀ musimy mieć pewność, że w pewnym otoczeniu punktu x₀, to znaczy w przedziale (x₀−δ, x₀+δ), δ>0 funkcja jest określona czyli dla wszystkich x należących do tego przedziału f(x) ma sens, jest liczbą rzeczywistą.

Bleee: Jedna tylko uwaga − − − okreslonosc funkcji w pewnym otoczeniu punktu x nie jest warunkiem wystarczającym (jest to tylko warunek konieczny) do tego aby istniała pochodną w punkcie x

Pytający: Jeszcze dodam, że π jest niewymierne, ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne, ale wartość ma konkretną, skończoną.

Adamm: Oczywiście że funkcje mogą przyjmować nieskończone wartości, czyli wartości z rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych, ∞ i −∞

jc: Adammie, i tak właśnie robi Rudnin pisząc o teorii miary.

Tosia: o tej skonczonosci to wycztyałam z tego https://www.matematyka.pl/4829.htm Bleee a warunkiem koniecznym i wystarczającym jest to ze ma w tym punkcie pochodną lewostronną i prawostronną i że są sobie równe? A jak to jest z pochodnymi niewłaściwymi? Wtedy gdy wychodzi plus albo minus nieskończoność ? Miałam takie zadanie, żeby zbadać różniczkowalność funkcji w punkcie x0=0 f=³√x funkcja jest rózniczkowalna jeśli pochodna istnieje, a tu wyszło po liczeniu z definicji pochodnej nieskonczosc, i ze nie jest rozniczkowalna , Ale przecież jest to pochodna niewlasciwa :< to nie rozumiem tego

ABC: Jeżeli przyjmujesz że pochodna jest funkcją liczbowo−liczbową, a sporo autorów tak czyni, to pochodna niewłaściwa nie jest pochodną

Adamm: Mówimy że granica istnieje, kiedy jest skończona. Podobnie z pochodnymi

Tosia: Wcześniej ktoś napisał , że nie ma czegoś takiego jak nieskonczona wartość , to czemu jest wartość skonczona? pi jest skonczona ?

Adamm: W analizie rzeczywistej: Wartość nieskończona − przez to rozumiemy plus lub minus nieskończoność (±∞) Wartość skończona − przez to rozumiemy dowolną liczbę rzeczywistą π jest wartością skończoną, bo jest liczbą rzeczywistą

ABC: Tosia liczba π jest skończona jako element zbioru liczb rzeczywistych, natomiast jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe

jc: Rozszerzenie R o +∞ i −∞ bywa wygodne, jednak na początku nauki analizy wydaje mi się, że przynosi więcej szkody niż pożytku.

Tosia: Dziękuję wszystkim ^^