Pomoc wektory i baza Pomoc: Sprawdż czy podane wektory tworzą baze przestrzeni w której są określone: u1=[0,1,1] u2=[1,1,1] u3=[1,0,1] u1=[0,1,0,1] u2=[1,0,1,0] u3=[0,0,0,1] u4=[1,1,1,1] u1=[0,1,1,1] u2=[1,1,1,0] u3=[1,0,0,1]

Pomoc: @Mila Pomocy

Blee: a) tak b) nie u₁ + u₂ = u₄ c) nie bo nie da się uzyskać chociażby wektora [0,0,1,0]

Mila: Tego nie pamiętam. Czekaj, aż Pan JC zobaczy.

Mila: O, jest Arturek

Blee: ad c) o ile się nie mylę to jeżeli liczba wektorów jest mniejsza niż wymiar w jakim ma być baza tworzona, to nie mają możliwości tworzyć tejże bazy (tutaj R⁴)

ABC: w c) może skorzystać też z tego, że dowolne dwie bazy są równoliczne, a standardowa baza ma 4 wektory

Blee: ad a) v₂ = u₂ − u₃ = [0,1,0] v₃ = u₁ − (u₂ − u₃) = u₁ − v₂ = [0,0,1] v₁ = u₃ − (u₁ − (u₂ − u₃)) = u₃ − v₃ = [1,0,0] czyli tworzysz bazę R³

Azmuth: Jeśli dobrze pamiętam, to można też tak, że bierzemy 3 dowolne skalary i mnożymy przez te wektory, tzn au1 + bu2 + cu3. Jeśli to = 0 czyli (0,0,0) to wtedy jest to baza

Blee: Azmuh −−− tak naprawdę to w taki sposób powinno się to wykazywać (wedle definicji), ale nie trzeba

ABC: no można i tak: sprawdzamy liniową niezależność i korzystamy z faktu że w przestrzeni liniowej n−wymiarowej każdy układ n liniowo niezależnych wektorów tworzy baze Chociaż gdyby było dodatkowe polecenie znaleźć współrzedne wektora w tej bazie to lepiej robić tak jak Blee.

Pomoc: @Blee @ABC Możecie to rozpisać albo rozwiązać bo definicje nic mi nie mówią

Pomoc: Nie potrafię tego wykonać ani obliczyć proszę to obliczyć.

ABC: Pomoc ale tu już właściwie jest wszystko zrobione trzeba to ładnie w słowa ubrać

ABC: w podpunkcie c np. piszesz układ [1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1] jest bazą R⁴ bo a)jest liniowo niezależny gdyż jeśli a(1,0,0,0)+b(0,1,0,0)+c(0,0,1,0)+d(0.0,0,1)=(0,0,0,0) to natychmiast otrzymujemy (a,b,c,d)=(0,0,0,0) czyli a=0 i b=0 i c=0 i d=0 b)układ ten jest generatorem R⁴ bo dla dowolnych x,y,z,t∊r mamy (x,y,z,t)=x(1,0,0,0)+y(0,1,0,0)+z(0,0,1,0)+t(0,0,0,1) no a skoro ten układ jest baza to dim R⁴=4 i twój układ u₁,u₂,u₃ nie może być bazą bo on może wygenerować co najwyżej wymiar 3

Azmuth: Dla a) u1=[0,1,1] u2=[1,1,1] u3=[1,0,1] Biorę dowolne 3 skalary: a ,b ,c au1 + bu2 + cu3 ?= (0,0,0) , sprawdzam po prostu czy to zachodzi. W mnożeniu przez skalar każdą współrzędną mnożymy przez skalar, czyli, np a*u1 = [0,a,a] No a dodawanie au1 + bu2 + cu3 odbywa się po współrzędnych, więc ostatecznie mamy (0+b+c, a+b+0, a+b+c) = (0,0,0) Czyli masz układ trzech równań b+c = 0 a+b = 0 a+b+c = 0 i jeśli a,b,c = 0 to jest to baza. Poprawcie mnie jeśli gdzieś się pomyliłem, bo dawno tego nie robiłem

Blee: dokładnie tak Azmuth

Blee: tzn ... jeżeli a,b,c = 0 to JEDYNE rozwiązanie tego układu, to wtedy mamy bazę

Azmuth: Tak, racja