Szereg Xxx: Mam ciąg a_n. Jeśli mam szereg ∑a_n = S_n. To granicą tego mojego S_n będzie sumą wyrazów ciągu a_n czy suma szeregu? Bo myślałam, że ciągu a_n, ale dziś na zajęciach usłyszałam, że szeregu i mam teraz mętlik w głowie, którego nie potrafię uporządkować.

Xxx: Skoro Sn to suma n wyrazów ciągu an. I patrząc dokąd ten wyraz dąży, patrzymy dokąd dąży suma ciągu an. Suma ciągu, a nie szeregu Sn. Tak mi się wydaje. Czy jestem w błędzie?

Mila: Rozwiąż konkretne zadanie:

	1		1
S=∑(n=0 do ∞) (		)n=		=2
	2		1−12

	1		1
an=(		)n ciąg geom. q=
	2		2

	1
limn→∞an=lim n→∞(		)n=0
	2

Teraz oblicz granicę S_n

Mila: S=2 suma szeregu− suma wszystkich wyrazów ciągu

Xxx: Ale nie rozumiem, dlaczego mówimy na a1+a2+a3+... ze to suma szeregu, skoro suma szeregu to byłoby S1+S2+S3+...=(a1)+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+...

Mila: 1) Nie sumujemy wyrazów ciągu sum częściowych Suma szeregu to granica ciągu sum częściowych . 2) Ciąg sum częściowych s₁=1

	1
s2=1+
	2

	1		1
s3=1+		+
	2		4

. . .

	1   1−( )n+1   2
sn=		i granica tego wyrażenia to suma szeregu
	1−12

Może coś pomyliłam ze wskaźnikami, ale o to chodzi.

ABC: tak formalnie to dla danego ciągu a₁,a₂,...,a_n,... tworzymy nowy ciąg S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, ...,S_n=a₁+a₂+....+a_n ,... ten nowy ciąg czasem nazywają ciągiem sum częściowych dla ciągu a_n Jeżeli ten nowy ciąg S_n posiada granicę, to oznaczamy ją symbolem ∑ i nazywamy sumą szeregu nieskończonego i mówimy że szereg jest zbieżny − tak się ludzie umówili

Xxx: Ale właśnie nie potrafię tego jakoś przetrawic. Jak obliczamy sumę jakiegoś ciągu an to to jest suma wszystkich jego wyrazów. A tutaj nagle suma ciągu sum częściowych (szeregu) to granica tylko ostatniego wyrazu.

ABC: lim_n→∞S_n to nie jest granica tylko ostatniego wyrazu

Xxx: Myślałam, że to wszystkie wyrazy ciągu. A ostatni wyraz szeregu. (Co prawda n ucieka do nieskończoności, wiec dziwnie tu mówić o ostatnim). Ale no na pewno nie jest to suma wszystkich wyrazów szeregu. Stąd dziwi mnie to, że to nazywamy sumawiamy szeregu.

Xxx: Nazywamy suma szeregu.

ABC: rozpatrz ten przykład co Mila podała a_n=(1/2)ⁿ powiedzmy że liczymy od n=1 wtedy : S₁=1/2=1−1/2 S₂=1/2+1/4=3/4=1−1/4 S₃=1/2+1/4+1/8=7/8=1−1/8 widoczne jest że S_n=1−1/2ⁿ lim_n→∞S_n=1 i to jest jednocześnie "nieskończona suma" :1/2+1/4+1/8+...

xxx: Wiem, wiem wiem to akurat widzę. Nie rozumiem tylko dlaczego nie liczymy takiej sumy: 1/2+3/4+7/8+...

xxx: Skoro mówimy, że jest to suma szeregu. A wyrazy szeregu są takie, jak wypisales (S1,S2,..)

xxx: Cały sęk w tym, że nie rozumiem właśnie tej nazwy "suma szeregu". Dla mnie to bardziej wygląda na sumę nieskończenie wielu wyrazów ciągu an. Ale nie na sumę szeregu, którego wyrazy to S1,S2,..., Których wcale że sobą nie sumujemy

ABC: Ciężko z tobą... jasne że wyrazów szeregu nie sumujemy, bo one tak zostały zdefiniowane że JUŻ SĄ SUMAMI: S_n=a₁+a₂+...+a_n dlatego liczymy granicę

xxx: Haha to już chyba przeciążenie materiału.w każdym razie, dzięki za pomoc

Pytający: Jeśli szereg definiuje się jako ciąg sum częściowych innego ciągu, to faktycznie logiczne byłoby, że suma szeregu = suma ciągu sum częściowych, tak jak piszesz Xxx. Jednak nawet jeśli tak jest zdefiniowany szereg, to umowa jest inna i suma szeregu = granica ciągu sum częściowych (co jest bardziej intuicyjne, ale faktycznie nie do końca logiczne pod względem nazewnictwa). Takiego problemu nie ma przy takich definicjach szeregu, sumy szeregu: https://i.ibb.co/jgkr5Gf/a.png

ABC: Pytający no można i tak , chociaż jak dla mnie to jest tzw. overkill

Pytający: Sęk w tym, że zagwostka/wątpliwość Xxx jest zupełnie sensowna i warto to potwierdzić. Co do overkilla − można i tak, a czasem nawet trzeba... skoro wykładowca podał taką a nie inną definicję...

xxx: Pytający, bardzo dziękuję