Dowód na proste prostopadłe i równoległe DM: Dzień dobry, gdzie mogę znaleźć dowód że jeśli proste są do siebie prostopadłe to iloczyn ich współczynników kierunkowych daje −1, a jeśli są równoległe to współczynniki te są równe? znalazłem taki film: https://www.youtube.com/watch?v=PQtPbCMfzZg a czy można to udowodnić jeszcze w inny sposób? Pozdrawiam.

Blee: oczywiście że można ... np wykorzystując pochodne

DM: Blee, poratowałbyś jakimś linkiem?

Satan: Dajmy na to dwie proste: Ax + By + C = 0 Dx + Ey + F = 0 Gdzie A, B, D, E ≠ 0

	B −A
Wektor kierunkowy pierwszej prostej:

	E −D
Wektor kierunkowy drugiej prostej:

Skoro są prostopadłe, to przecinają się pod kątem 90 stopni, więc cos α = 0 Skorzystajmy z iloczynu skalarnego wektorów: AB o CD = |AB| * |CD| * cos α Stąd:

AB o CD
	= cos α
|AB| * |CD|

Wiemy, że cos α = 0 Stąd wystarczy licznik przyrównać do 0:

B −A		E −D
	o		= 0

BE + AD = 0 Stąd BE = −AD

	A
Współczynnik kierunkowy prostej Ax + By + C = 0 jest równy: −		co łatwo wykazać.
	B

	D
Analogicznie współczynnik kierunkowy prostej Dx + Ey + F = 0 jest równy: −
	E

Wracając do równania: BE = −AD

BE
	= −1
AD

B		E
	*		= −1 / −1
A		D

A		D
	*		= −1
B		E

	A		E
−		*−		= −1
	B		D

A to z kolei jest iloczyn współczynników kierunkowych Wydaje mi się, że to również poprawne uzasadnienie.

DM: No tak też myślałem xD Dziękuje

Satan: Przy równoległości wykorzystajmy to, że w takim razie wektory kierunkowe muszą być sobie równe:

B −A		E −D
	=

Wektory są sobie równe, gdy odpowiednie współrzędne są sobie równe: B = E −A = −D ⇒ A = D

	A		D
I znowu współczynniki kierunkowe to: −		i −
	B		E

Podstawiając odpowiednio otrzymujemy przekształcenie jednego współczynnika na drugi