rozwiąz równanie na liczbach zespolonych Mateusz: dane jest równanie: z³=(i*z+1)³ Wiem,żeby rozwiązać to można sobie ułatwić i sprowadzić liczbę zespoloną do p.wykładniczej. Ale moje pytanie brzmi: Czy mogę pozbyć się trzeciej potęgi jak gdyby nigdy nic? Czy w przypadku liczb zespolony będzie jakiś haczyk?

PW: Zły pomysł. Sprawdzamy czy z=i jest rozwiązaniem, a że nie jest − dzielimy przez iz+1≠0 i dostajemy równoważne równanie

	z
(		)3=1,
	iz+1

a więc liczby postaci

	z
	iz+1

stanowią pierwiastek trzeciego stopnia z jedynki − rozwiązania znamy.

Mila: Nie możesz . Masz równanie trzeciego stopnia, to będą 3 rozwiązania. Jeśli zapiszesz : z=iz+1 to otrzymasz jedno rozwiązanie. Rozwiązuj jak podpowiada PW. Gdy rozwiążesz, to mogę podać inny sposób, porównasz.

Mateusz: Moglibyście pomóc? nie wiem co robić dalej po przeprowadzeniu do postaci podanej przez PW

Mila: z³=(i*z+1)³⇔ z³−(i*z+1)³=0 teraz wzór a³−b³=(a−b)*(a²+ab+b²) (z−iz−1)*[z²+z*(iz+1)+(iz+1)²]=0 z−iz−1=0 lub (z²+iz²+z+i²z²+2iz+1)=0 z*(1−i)=1 lub z²+iz²+z−z²+2iz+1=0⇔iz²+(1+2i)*z+1=0 z*(1−i)*(1+i)=1+i lub Δ=(1+2i)²−4i=1+4i−4−4i=−3=i²*3

	−1−2i−i√3		−1−2i+i*√3
z*(1−i2)=1+i lub z=		lub z=
	2i		2i

	1+i		−1−2i−i√3		i		−1−2i+i*√3		i
z=		lub z=		*		lub z=		*
	2		2i		i		2i		i

dokończ te dwa rozw. (i²=−1) Dobranoc