Naszkicuj wykres - liczby zespolone Mateusz: Dane jest równanie należące to liczb zespolonych

	z+i
arg		=π2
	z−i

Wyciągnąłem założenia: Re(z)=0 oraz Im(z)>0 co wynika z wykresu. Próbowałem podstawić z=x+i*y, ale nic mi to nie dało. Czy ktoś mógłby pomóc?

PW:

	π
Skoro argument liczby jest równy		, to znaczy że liczba ta jest równa ki, k>0.
	2

	z+i
		=ki, k>0
	z−i

z+i = ki(z−i) z+i = kiz+k z(1−ki) = k−i

	k−i
z =
	1−ki

	(k−i)(1+ki)
z =
	(1−ki)(1+ki)

	k+k2i−i+k
z =
	k2+1

	2k		k2−1
z =		+ i		.
	k2+1		k2+1

Jeżeli oznaczyć z = x + iy, to mamy

	2k		k2−1
x =		, y =		, k>0
	k2+1		k2+1

a więc dla k=1 x = 1, y = 0, zaś dla pozostałych k>0

	y		k2−1
		=
	x		2k

	k2−1
(1) y =		x, k>0.
	2k

Dla ustalonej k zbiór punktów (x, y) stanowi prostą o równaniu (1). Dla ilustracji narysować

	k2−1
punkt (1, 0) oraz kilka prostych o współczynnikach kierunkowych		, k>0.
	2k

PW: Oj, nie są to proste, przecież jeżeli

	2k
x =		, k>0,
	k2+1

to x nie są dowolne, lecz są pewnymi liczbami dodatnimi.

PW: Bzdury piszę totalne. Już położyłem się, a tu mi nie daje usnąć. Dobrze było: Rozwiązania równania to liczby z = x + iy, w których

	2k		k2−1
x =		, y =		, k>0.
	k2+1		k2+1

Liczymy

	4k2		(k2−1)2		4k2+k4−2k2+1
|z|2 = x2+y2 =		+		=		=
	(k2+1)2		(k2+1)2		(k2+1)2

	(k2+1)2
=		= 1.
	(k2+1)2

Rozwiązania leżą więc na okręgu jednostkowym, przy czym

	k2−1
sinφ =		, k>0
	k2+1

co oznacza, że sinφ ∊ (−1, 1), zatem rozwiazaniami są liczby leżące na okręgu jednostkowym, bez punktów (0,1) i (0, −1). Mam nadzieję, że to już nie są bzdury, choć nie wykluczam, że ktoś to rozwiąże o wiele łatwiej.