pochodna - styczna do wykresu funkcji ognioziejka: Witam, Mam problem z takim zadaniem: Dana jest funkcja y=x³ − 6x² + 5x +2 Wyznacz równanie stycznej do wykresu tej funkcji, która ma najmniejszy współczynnik kierunkowy i która przechodzi przez punkt A = (−1,7). Próbowałam robić to tak: wyliczyłam f’(x₀) i podstawiłam do wzoru na styczną do wykresu funkcji (razem z punktem A) ale wyszło mi równanie w którym nie potrafię znaleźć pierwiastków. Jest jakaś inna metoda rozwiązania?

the foxi: f(x)=x³−6x²+5x+2 f'(x)=3x²−12x+5 nie musisz znajdować miejsc zerowych pochodnej, jedyne, czego potrzebujesz, to jej najmniejsza wartość

Jerzy: To po co podano warunek,że ma przechodzić przez punkt A ?

ognioziejka: dzięki wielkie! a potem co z tym punktem A? mam go podstawić do y−f(x₀)=f’(x₀)(x−x₀)?

iteRacj@: f'(x)=3x²−12x+5=3x²−12x+12−7=3(x²−2*2*x+2²)−7=3(x−2)²−7 Pochodna osiąga minimum równe (−7) dla argumentu 2 i to jest najmniejsza możliwa wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu tej funkcji. Ale styczna o współczynniku kierunkowym a=−7 nie przechodzi przez pkt A = (−1,7). Widać to na ilustracji https://www.geogebra.org/classic/yfd9egpm . (jest to przeróbka ogólnodostępnych materiałów geogebry https://www.geogebra.org/m/nKyN7BeF innego autora) Jeśli przesunąć wskaźnik x_o≈0,76 to styczna przejdzie przez pkt A, to wzoru tej stycznej należy szukać.

ognioziejka: nie rozumiem, co mam zrobić ze wskaźnikiem x₀? w jaki sposób mogę go przesunąć?

iteRacj@: Napisałam o tym przesunięciu w geogebrze tylko dla zilustrowania zagadnienia. Chodziło mi o przesunięcie na planszy myszką wskaźnika x_o do wartości około 0,76 tak, żeby było widać, istnieje prosta przechodząca przez dany punkt o współczynniku ujemnym. Trzeba go oczywiście obliczyć.

ognioziejka: okay, teraz już rozumiem. dziękuję!

ognioziejka: chyba jednak nie wiem.. jak mogę wyznaczyć kolejną prostą? jeśli szukam w pochodnej, to następnym minimum jest 2+√21/3, ale wtedy współczynnik kierunkowy wychodziłby dodatni..

iteRacj@: Graficzne przestawienie zagadnienia pomaga szukać i sprawdzać rozwiązania, dlatego je zapronowałam jako pomoc dla wyobrażni. Ja nie widzę innej metody obliczenia niż ta, którą podałaś 14:17 równanie stycznej przechodzacej przez szukany pkt styczności i A = (−1,7) y_o=a(x_o+1)+7 równanie funkcji pochodnej w pkcie styczności a=3(x_o)²−12(x_o)+5 równanie wyjściowej funkcji w pkcie styczności y_o=(x_o)³−6(x_o)²+5(x_o)+2 Z tego układu otrzymuję równanie 2(x_o)³−3(x_o)²−12(x_o)+10=0 pierwiastki (czyli punkty styczności) mają straszną postać, Mariusz na pewno sobie z nimi poradzi, ja już nie. Wolfram jeszcze daje radę https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E3-3x%5E2-12x%2B10%3D0 ale to nie poprawia sytuacji (kliknij solutions → exact forms). No i widać, że najmniejszy współczynnik kierunkowy jest dla x_o≈2,95 a nie a tak jak podałam wcześniej. Może ktoś poda jakieś proste rozwiązanie. Albo z tego układu równań od razu wyliczy a, bez liczenia x_o.