pyt TheDanceOfEternity: Witam serdecznie, Mam nieco głupie pytanie. Co to znaczy "przekształcić nierówność w sposób równoważny"?

TheDanceOfEternity: Domyślam się, że chodzi o wykonywanie takich przekształceń, że "działają" one w obie strony. Mógłby ktoś doprecyzować czego nie należy robić z nierównością np. w zadaniach dowodowych gdy chcę wyjść od tezy?

ABC: −3<2 ⇒(−3)²<2²⇒9<4 tego nie rób

xy: równoważnie oznacza ze nie zmieniasz wartości wyrażenia wejściowego czyli tak jak podał ABC jeżeli masz x > y to to nie jest równoważnie z x² > y² bo np. 2 > −3 ale jak podniesiemy do kwadratu to mamy 4 > 9 co jest sprzeczne Dlatego przy dowodach wszelkiego rodzaju (gdy mamy nierówność) to piszemy ze przekształcamy równoważnie np. udowodnić że x² + x + 1 > 0 dla dowolnego x ∊ ℛ no to piszemy: Przekształcając nierówność równoważnie, otrzymuję: x² + x + 1 > 0 /*2 2x² + 2x + 2 > 0 x² + (x² + 2x + 1) + 1 > 0 x² + (x+1)² + 1 > 0 komentarz: Dla dowolnego x ∊ R wartość x² oraz wartość (x+2)² są nieujemne, zatem gdy do wartości nieujemnych dodana zostanie jedynka, to wartość wyrażenia będzie dodatnia. c.k.d.

PW: Strasznie wolno mi idzie pisanie, ale skoro już udłubałem, to do wypowiedzi Kolegów dodam swoją. Nierówności równoważne to takie, które mają identyczne rozwiązania. Są twierdzenia, które mówią jakie działania można wykonywać, by otrzymać nierówności równoważne. Pytasz, czego nie mozna robić. − mnożyc obu stron nierówności przez wyrażenie o nieustalonym znaku, np. f(x)<g(x) f(x)(2x+5)<g(x)(2x+5) − te nierówności nie są równoważne (nie wiemy czy (2x+5) jest dodatnie, czy ujemne, a więc nie wiemy, czy pozostawić zwrot nierówności, czy zmienić na przeciwny); − podnosić stronami do kwadratu obie strony nierówności, jeżeli nie mamy pewności co do znaku obu stron, np. x<9 ma rozwiązania stanowiące zbiór (−∞, 9), ale nierówność x²<9² ma zbiór rozwiązań (−9, 9) − rozwiązania tych nierówności nie są identyczne;

TheDanceOfEternity: To już wiem o co chodzi. Wielkie dzięki wszystkim za odpowiedź