Wektory własne macierzy 2x2 Ana: Prosze o pomoc, kolokwium już niedługo.. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy: 3 2 8 −1 Wartości wyszły mi λ₁=1−2√5 i λ₂=1+2√5 Wstyd się przyznać, ale za nic nie mam pomysłu jak wyliczyć wektory dla tych wartości.

jc: 3x + 2y = (1−2√5)x y=−(1+√5)x

	1 −1−√5
Przykładowy wektor własny:		.

Podobnie w przypadku drugiej wartości własnej.

Satan: Wektory własne wyznaczasz z definicji. Niech A będzie macierzą jakiegoś przekształcenia liniowego. X jest wektorem własnym dla jakiejś wartości λ i X = [x, y]. Masz wtedy: AX = λX I stąd wyznaczasz wektory własne. Zawsze otrzymasz dwa równania, które są sobie równe. I tak jak jc:

3 2 8 −1	x y		x y
		= (1−2√5)

3x + 2y = (1−2√5)x 8x − y = (1−2√5)y Zajmijmy się pierwszym równaniem, a drugie wykreślmy: 2y = (1 − 2√5)x − 3x 2y = (1 − 2√5 − 3}x 2y = (−2 −2√5)x y = −(1 + {5})x I analogicznie rozwiązujesz drugie równanie Lub można skorzystać z innego sposobu:

3−λ 2 8 −1− λ	x y
		= 0

Podstawmy λ₁ za λ:

3 −1+2√5 2 8 −1−1+2√5	x y
		= 0

2+2√5 2 8 −2+2√5	x y
		= 0

I teraz wymnażamy: (2+2√5)x + 2y = 0 8x + (2√5−2)y = 0 Zajmujemy się pierwszym równaniem: 2(1+√5)x + 2y = 0 y = −(1+√5)x Obie metody są jak najbardziej poprawne