całki student: jak sie nauczyć całek

Leszek: Jak bedziesz obliczal calki to spawdzaj swoj wynik obliczajac pochodna otrzymanego wyniku : np. Obliczyc calke : ∫ xe^x2 dx = { podstawienie x² = t ⇒ 2x dx = dt } = = (1/2) ∫ e^t dt = (1/2)e^t + C = (1/2) e^x2 + C Sprawdzenie : [ (1/2) e^x2 ] ' = (1/2) e^x2 * 2x = x e^x2

Jerzy: Jak rozwiążesz 200, to będziesz dobry/a.

Jerzy: No widzisz, tą już będziesz umiał.

Mariusz: Podstawowe pojęcia takie jak funkcja pierwotna , funkcja podcałkowa itd Podstawowe metody całkowania jak Liniowość całki (wynika z liniowości pochodnej) Całkowanie przez części (aby je wyprowadzić wychodzisz z pochodnej iloczynu) Jako przykład całkowania przez części możesz wyprowadzić sobie kilka przydatnych wzorów redukcyjnych Całkowanie przez zamianę zmiennych (aby je wyprowadzić wychodzisz z pochodnej złożenia) Całkowanie funkcji wymiernych 1. Dzielisz licznik przez mianownik (aby zapisać funkcję podcałkową w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej) 2. Wydzielasz część wymierną całki sposobem Ostrogradskiego

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

gdzie M₁(x)=NWD(M(x),M'(x)) M(x)=M₁(x)M₂(x) a wielomiany w licznikach są stopnia mniejszego niż wielomiany w mianownikach Aby otrzymać NWD(M(x),M'(x)) nie musisz mieć danego rozkładu mianownika M(x) na czynniki wystarczy że będziesz brał reszty z kolejnych dzieleń podobnie jak w algorytmie Eukldesa dla liczb Jeśli jednak masz dany rozkład mianownika M(x) na czynniki to M₂(x) posiada te same czynniki co M(x) tylko pojedyncze natomiast M₁(x) posiada pozostałe czynniki mianownika M(x) Liczniki L₁(x) oraz L₂(x) znajdujesz metodą współczynników nieoznaczonych

	L(x)		L1(x)		L2(x)
∫		dx=		+∫		dx
	M(x)		M1(x)		M2(x)

Różniczkujesz powyższą równość ,sprowadzasz ułamki do wspólnego mianownika i porównujesz liczniki 3. Stosujesz rozkład na sumę ułamków prostych Po zastosowaniu wydzielenia części wymiernej całki sposobem Ostrogradskiego masz pewność że w rozkładzie mianownika na czynniki nie będą się one powtarzać Ułamki proste jakie powinieneś dostać to

A
x−a

oraz

Bx+C
x2+px+q

gdzie p²−4q < 0

	A
Z całki ∫		dx
	x−a

od razu dostajesz logarytm

	Bx+C
Aby policzyć całkę ∫		dx
	x2+px+q

proponuję sprowadzić mianownik do postaci kanonicznej i podstawić

	p		p2
(x+		)2=(q−		)t2
	2		4

Całkowanie funkcji niewymiernych Podstawienia Eulera √ax²+bx+c=t−√ax √ax²+bx+c=xt−√c √ax²+bx+c=(x−x₁)t Aby je wyprowadzić przecinasz krzywą y²=ax²+bx+c sieczną Podstawienia związane z całkowaniem różniczki dwumiennej ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx p∊ℤ x=t^s s=nww (mianownik m,mianownik n)

m+1
	∊ℤ
n

t^s=a+bxⁿ gdzie s to mianownik p

m+1
	+p∊ℤ
n

	a+bxn
ts=
	xn

gdzie s to mianownik p Całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx Tutaj korzystając z jedynki trygonometrycznej zadziała pomysł znany z podstawień Eulera cos(x)=(1−sin(x))t

	x
Na te całki działa podstawienie t=tg(		+θ)
	2

gdzie θ=const Całki postaci ∫R(e^cx)dx Tutaj podstawienie samo się narzuca Do tych całek sprowadzają się całki z hiperbolicusami Całkowanie przez rozwinięcie w szereg oraz sprowadzanie całek do znanych funkcji nieelementarnych Widziałem też jak jeden zaczął od definicji całki oznaczonej Ciąg podziałów odcinka, sumy Riemanna itd a później zdefiniował funkcję pierwotną za pomocą całki oznaczonej Przy liczeniu całek oznaczonych przydatny będzie wzór Newtona Leibniza a także wzór Leibniza na różniczkowanie pod znakiem całki

Bolek: Mariusz jak zwykle przepisuje podreczniki!

Bolek: Obliczyc calke : k = const.

	sin(k/x)
∫		dx =
	(kx)2

jc: k≠0.

Leszek: Przez podstawienie (k/x) = t ⇒ dx = (−x²)/k * dt

	sint		cos ( k/x)
∫		dt = (−1/k3) ( − cos t) + C =		+ C , k≠0
	− k3		k3

I wykonaj sprawdzenie , oblicz pochodna otrzymanego wyniku

Mariusz: Bolek to jak wy pisać nie na temat co ? Ja mu chociaż jakiś plan nauki wypisałem

Bolek: Plan nauki to on ma w spisie podrecznika !

Mariusz: Nie spamuj koleś