nierówność trójkąta Artresan: Wykaż, że |a−b| ≤ |a−c| + |b−c|, gdzie a,b,c∊R Jak w miarę szybko pokazać taką nierówność? Wiem, że będzie ona prawdziwa, jednak podniesienie do kwadratu wprawia mnie w masę obliczeń, a obliczanie pojedynczych przypadków też sporo zajmie. Potrzebny mi jest jedynie szkic dowodu, do udowodnienia nierówności trójkąta.

Artresan: w metryce

Adamm: u = a−c v = c−b |u+v| ≤ |u|+|v| ⇔ (u+v)² ≤ u²+2|u||v|+v² ⇔ uv ≤ |uv| oczywiste z definicji

Adamm: ogólnie korzysta się z nierówności Cauchy'ego |x+y|² = |x|²+2(x, y)+|y|² ≤ |x|²+2|x||y|+|y|² = (|x|+|y|)² |x+y| ≤ |x|+|y|