Pytanie o przedział wypukłości Paranoik-Algebraik: Jeżeli mam pochodną >0 np. dla x∊(2,5) to f rośnie w <2,5> a jak jest z wypukłością? Jeżeli mam drugą pochodną >0 np. dla x∊(2,5) to f jest ściśle wypukła w (2,5) czy <2,5>?

Pytający:

	⎧	x dla x≠2
f(x)=	⎩	3 dla x=2

Mamy f'(x)>0 dla x∊(2,5), ale nieprawdą jest, że f rośnie w <2,5>.

jc: Pytający, jak założysz, że f jest ciągła na <2,5> to już f będzie rosnącą.

Paranoik-Algebraik: Akuratnie o to nie pytałem

Blee: Pytający −−− niestety teraz często 'domykają' przedziały przy podawaniu monotoniczności

the foxi: Blee, jc, Pytający: czyli "domykanie" tych przedziałów to pewien błąd?

jc: Jakie domykanie? f(x)=x² jest rosnąca na przedziale [0,∞), a malejąca na przedziale (−∞,0]. Oczywiście na mniejszych przedziałach f też jest monotoniczna,

the foxi: czyli w punkcie x=0 jest i rosnąca i malejąca? zawsze mnie ta kwestia ciekawiła

jc: Jak definiujesz monotoniczność w punkcie?

Pytający: Jc, no jak jest ciągła to tak, ale Paranoik−Algebraik o ciągłości nie napomknął. The foxi a co rozumiesz przez "czyli w punkcie x=0 jest i rosnąca i malejąca"? "f(x)=x² jest rosnąca na przedziale [0,∞), a malejąca na przedziale (−∞,0]" znaczy, że dla każdego x∊(0,∞) zachodzi f(0)<f(x), i że dla każdego x∊(−∞,0) zachodzi f(0)>f(x) Jak dla mnie trudno mówić o rośnięciu/maleniu w punkcie. W punkcie (znaczy dla danego argumentu) funkcja ma jedną konkretną wartość.

Pytający: Poprawka: "f(x)=x² jest rosnąca na przedziale [0,∞), a malejąca na przedziale (−∞,0]" znaczy, że dla każdego x∊(0,∞) zachodzi f(0)<f(x), i że dla każdego x∊(−∞,0) zachodzi f(0)<f(x)

jc: Powiemy, że funkcja f jest rosnąca na przedziale [0,∞), jeśli dla dowolnych x,y ∊[0,∞) takich, że x<y zachodzi nierówność f(x)<f(y).

Blee: Panowie ... to tak naprawdę nie jest żaden problem ... to jest bardziej kwestia jaką się przyjmie notację. Za moich czasów monotoniczność zapisywało się w otwartych przedziałach właśnie ze względu na "trudno mówić o rośnięciu/maleniu w punkcie". Jakiś czas temu na forum ktoś mnie uświadomił (chyba Eta), że obecnie w szkołach raczej 'domyka' się przedziały przy monotoniczności. To jest kwestia umowna (przykładowo średnia EWMA u 'hamburgeorwców' znana jest jako średnia EMA)

the foxi: funkcja jest rosnąca, gdy dla każdych x₁, x₂ należących do przedziału i takich że x₁>x₂ zachodzi f(x₁)>f(x₂) funkcja jest malejąca, gdy dla każdych x₁, x₂ należących do przedziału i takich że x₁>x₂ zachodzi f(x₁)<f(x₂) więc gdy wsadzę x=0 do przedziału, gdy funkcja rośnie i do przedziału, gdzie maleje, nierówność będzie zachodziła w obu przypadkach wniosek − nie ma za bardzo znaczenia, czy przedział domkniemy, czy nie i to tylko kwestia umowy (jak mówi Blee) dobrze myślę?

jc: Wiadomo, co to znaczy, że funkcja jest monotoniczna na jakimś przedziale. Problemem jest raczej zadanie pytania. Bo o co spytamy? o największe zbiory, na których funkcja jest monotoniczna?

jc: the foxi, a jeśli potrzebny mi przedział [0,∞), a przedział (0,∞) mi nie wystarcza? Wtedy ten koniec ma znaczenie i to nie jest sprawa umowy.

the foxi: oczywiście wtedy x=0 też spełnia odpowiednią nierówność zatem rozumiem, że lepiej "wrzucać" wartości skrajne i to się zgadza z poprzednimi wypowiedziami, chyba rozumiem dziękuję za wyjaśnienie

Paranoik-Algebraik: Bardzo się ciesze że wywiązała się mała dyskusja i wątpliwości zostały wyjaśnione ale rozważmy jeszcze mój pierwotny problem : Czy domykać przedział ścisłej wypukłości? tzn. Jeżeli mam drugą pochodną >0 np. dla x∊(2,5) to f jest ściśle wypukła w (2,5) czy <2,5>?

Paranoik-Algebraik: Odświeżam

PW: Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na (a,b), to aby była ona wypukła w przedziale (a,b), wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: f''(x)≥0. Takie jest twierdzenie, i tylko taki wniosek można wyciągać. Jeżeli chcesz mówić o wypukłości w przedziale domkniętym (o ile w ogóle ma to sens), to dla krańców przedziału trzeba to wykazać "ręcznie" − nie można twierdzenia mówiącego o zachowaniu funkcji w przedziale otwartym rozciągać mechanicznie na przedział domknięty. Gdyby to była prawda, to twierdzenie byłoby sformułowane dla przedziału domkniętego.

jc: Oczywiście, że można mówić o funkcji wypukłej na przedziale domkniętym. Weź choćby sinus na przedziale [0,π] (funkcja wypukła do góry). Wydaje mi się, że w twierdzeniu wystarczy dodać, że funkcja jest ciągła na [a,b].