Równanie rekurencyjne niejednorodne Michał K: Cześć. Mam rozwiązać zależność rekurencyjną: S_n+1=14S_n−49S_n−1 S₀=−1 S₁=−14 Mam problem z f(n)=25n*4ⁿ⁺¹ Czy Sn wynosi A*4ⁿ⁺¹*n¹? Po obliczeniu A, Sn wychodzi mi 10n*4ⁿ*n co jest błędnym wynikiem

jc: S_n = (A+Bn)7ⁿ

jc: A=B=−1

Mariusz: Funkcja tworząca jest wygodniesza Możesz też metodą analogiczną do równań różniczkowych Równanie jednorodne przekształcasz w układ równań i rozwiązujesz algebraicznie korzystając z wartości i wektorów własnych Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego rozwiązujesz uzmienniając stałe

jc: Mariusz, w tym wypadku na pewno nie jest wygodniejsza. Pół strony zapiszesz, zanim uzyskasz rozwiązanie.

Mariusz: Zacytuję wpis ABC " Poprzednik podał link gdzie opluto klasyczne metody. Ja nie jestem wielkim ich obrońcą, a jednak da się nimi policzyć, i widać przynajmniej co się dzieje, a nie używa się wzorów bez uzasadnienia. " Kiedyś ABC napisał to w temacie dotyczącym rozwiązywania równań czwartego stopnia ale można odnieść także do twojego wpisu

Mila: Podałeś równanie jednorodne, a w temacie piszesz r. niejednorodne? S_n+1=14S_n−49S_n−1+ 25n*4ⁿ⁺¹ ?

Mariusz: jc próbowałeś tej metody Jednorodne zapisać w postaci równoważnego układu równań i rozwiązać metodą algebraiczną (wartości i wektory własne do diagonalizacji lub dwumian Newtona , dwumian Newtona tylko dla macierzy komutujących ale i tak stosowany jest dla macierzy niediagonalizowalnych) Rozwiązanie szczególne niejednorodnego znajdujesz uzmienniając stałe W przypadku równań różniczkowych rozwiązaniem układu jest y=e^Aty₀ a w przypadku układów równań rekurencyjnych y=Aⁿy₀ W przypadku równań różniczkowych uzmienniając stałe rozwiązujemy układ równań korzystając z Wrońskianu W przypadku równań rekurencyjnych uzmienniając stałe rozwiązujemy układ równań korzystając z Casoratianu To podejście jest analogiczne do równań różniczkowych ale nie wymaga zgadywania

Mila: Mariuszu, Pan JC proponuje rozwiązania proste i eleganckie. Są pewne metody proste i nic się nie zgaduje, bo dawno zostały odkryte , uzasadnione i są metody bardziej czasochłonne.

jc: Mariusz, to jest to samo, albo raczej, wnioskiem z "metody algebraicznej" jest postać, którą napisałem. t_n+1=s_n s_n+1=14s_n−49t_n Dalej potęgujesz macierz.

0 1 −49 14

ABC: Mariusz widzę że zacytowałeś mnie utkwił ci tamten osobnik w pamięci choć to już tyle lat.

jc: Mariusz, a tu masz zastosowanie rozkładu Jordana.

0 1 −49 14		7 0 0 7		−7 1 −49 7
	=		+

−7 1 −49 7
	2=0

0 1 −49 14		7 0 0 7		−7 1 −49 7	7 0 0 7
	n =		n + n			n−1

Mariusz: Mila: Użytkownik podał część niejednorodną Jest nią f(n)=25n*4ⁿ⁺¹ czyli równanie można zapisać tak S_n+1=14S_n−49S_n−1+100n4ⁿ S₀=−1 S₁=−14

jc: Możemy się co najwyżej domyślać. Ja myślałem, że f było zaproponowanym rozwiązaniem.

Mariusz: Tak jak się lepiej wczytałem to macie rację że on potraktował f(n) jako rozwiązanie a może być co najwyżej częścią niejednorodną

Mariusz: ABC podoba mi się ten cytat dlatego lubię metody dość ogólne i takie w których każdy krok wynika z poprzedniego dlatego lubię takie metody jak użycie funkcji tworzącej a z równań wielomianowych to np wzory Cardana wraz ze sposobem ich wyprowadzenia czy metodę Ferrariego http://www-users.mat.uni.torun.pl/~much/RR/REKUR_2_liniowe_13xi2006.pdf Widziałeś ten pdf ? Akurat miałem okazję chodzić na ten uniwersytet i właśnie na wydział matematyki Jak kończyłem liceum to matematykę można było kończyć razem z fizyką (dwa w jednym) Teraz matematyka jest z informatyką Niby nie ma się czym chwalić bo raz że zaoczne dwa że ledwo zdałem

ABC: Poczytam sobie ten pdf w wolnej chwili dzięki za link miałeś zajęcia z Górniewiczem czy już go nie było za twoich czasów?

Michał K: Przepraszam za zamieszanie. Oczywiście równanie jest w postaci S_n+1=14S_n−49S_n−1+100*n*4ⁿ I nadal mam problem z tą częścią niejednorodną. Jak ją zapisać?

jc: Dobierz C i D tak, aby (C+Dn)4ⁿ było rozwiązaniem.

Mariusz: Z Górniewiczem nie Wykładał na umk ? Jak chodziłem to przedmiotów informatycznych uczyli matematycy np kurs C/C++ prowadził koleś od algebry liniowej

Mila: (*) s_n+1=14s_n−49s_n−1+100n*4ⁿ s₀=−1, s₁=−14 1) Równanie charakterystyczne: x²−14x+49=0 (x−7)²=0⇔x=7 s_n⁽¹⁾=A*7ⁿ+B*n*7ⁿ s_n⁽²⁾=(Cn+D)*4ⁿ podstawiamy do (*) 2) [C(n+1)+D]*4ⁿ⁺¹=14*[Cn+D]*4ⁿ−49*[C(n−1)+D*4ⁿ⁻¹+100n*4ⁿ /:4ⁿ

	49
[Cn+C+D]*4=14Cn+14D−		*[Cn−C+D]+100n po wykonaniu działań:
	4

9C*n−33C+9D=100n 9C=100 i −33C+9D=0

	100		1100
C=		, D=
	9		27

	100		1100
3) sn(2)=(		n+		)*4n
	9		27

	300		1100
sn(2)=(		n+		)*4n
	27		27

	25
sn(2)=(3n+11)*		*4n+2
	27

4)

	25
sn=A*7n+B*n*7n+(3n+11)*		*4n+2
	27

	25		4427
−1=A+11*		*16⇔A=−
	27		27

	4427		25
−14=7*(−		)+7B+(14)*		*43
	27		27

B=1173

	1
sn=		*[ 7n(−4427+1173n)+(3n+11)*25*4n+2]
	27

=======================================

Mila: Mariuszu rozwiąż za pomocą funkcji tworzącej