aa Hugo: Rozwiąż następujące kongruencje i układy kongruencji a) 7x−3≡11 13−x b) {2x+y≡₇ 3 {3x−4y≡₇ 2 odp. a)x≡₁₁ 2 b) x≡₇ 0, y≡₇ 3 jak się za takie zadanie zabrać?

Mila: 7x−3≡₁₁13−x 8x≡₁₁5 8*7=56≡₁₁1 8x*7≡35 (mod11) 1x=2 (mod11) b) W Z₇ {2x+y≡ 3 /*4 {3x−4y≡ 2 1x+4y=5 3x−4y=2 ========= 4x=0 x=0 4y=5 /*2 1y=3 x=0,y=3

Hugo: dziękuje, ale nie rozumiem do końca tu rozumiem ze przenosimy x na lewą strone 7x−3≡₁₁ 13−x jak zmieniłaś 5 na 1? 8x≡₁₁5 8*7=56≡₁₁1 jak z 35 zrobiłaś 2? 8x*7≡35 (mod11) 1x=2 (mod11) b) {2x+y≡ 3 /*4 {3x−4y≡ 2 mnożysz /*4 i z 2x masz 1x? jak to możliwe? z '5' rozumiem bo: 2*4 = 12, 12mod7 = 5 1x+4y=5 3x−4y=2 proszę o pomoc

Mila: a) 8x≡₁₁5 Odwrotna do 8 w Z₁₁ to liczba 7 , ponieważ: 8*7=56=5*11+1⇔8*7=1(mod11),35=3*11+2 8x≡5 (mod11) /*7 56x≡35(mod11)⇔ 1x=2 (mod11) b) 8x≡₇=1x bo 8=7*1+1 −−−−−−−−−− 1x+4y=5 3x−4y=2 dodaję stronami 4x=7≡0(mod7)

Hugo: Czy zatem mamy własność, gdzie ax ≡b*(mod c), możemy od a i b odejmować dowolną wielokrotność (mod c) ? 56x ≡ 35 (mod11) brzmi logicznie ale czy jest zawsze taka zależność to nie wiem (56−5*11) ≡ (35−11*3)(mod11) Mila dziękuje za rozpisanie, próbuje znaleźć regule w twoich rozpiskach.

Mila: (56−5*11)x ≡ (35−11*3)(mod11)

Hugo: : Mila Ty odejmujesz od poszczególnych składników (mod n) ! nie miałem pojęcie skąd to się bierze: z Twojego postu powyżej gdzieś: Z₇ {2x+y≡ 3 /*4 {3x−4y≡ 2 {8x+y≡12 −> (8−7)x = y≡ (12−7) // o tym nie wiedziałem i dziwiłem się jak te cyfry znikają ! {3x−4y≡ 2 1x+4y=5 3x−4y=2

Hugo: i tak samo: 56x≡35(mod11)⇔ 1x=2 (mod11) (56−11*5) = (35−11*3) (mod11) ! dwa dni to męczyłem dziękuję.

Mila:

Hugo: b') 3x+2≡₁₃ 11−2x przenosimy na lewą stronę x 5x ≡₁₃ 9 /*8 40x ≡₁₃ 72 3*13+1≡₁₃5*13+7 x≡₁₃7 zgodnie z kluczem c') 2x−5≡₉ 5x+4 x na lewo, reszta na prawo −3x ≡₉ 9 /*(−1) 3x≡₉ −9 3x≡₉ 0 z reguły skracania x*3≡₉ 3*0 x≡₉ 0 czy to jest dobrze? w kluczu jest x≡₃ 0 0(mod9) = 0 0(mod3) = 0, mógłby ktoś mi to ocenić? są jakieś reguły do zamiany liczby przy modulo? (mod n)?

Mila: ax=b(mod n) , jeżeli a,b, n ma wspólny dzielnik to możesz podzielic jak niżej 3x≡ −9 (mod9) /:3 x=−3(mod3), −3+3=0 x=0(mod3)

Hugo: dobrze wiedzieć , jednak chyba oba rozwiązania są poprawne, tylko ze moje nie skrócone

Hugo: jeszcze bym poćwiczył: d') 4x+2≡₁₅ 8−4x x na lewo, reszta na prawo 8x ≡₁₅ 6 / :2 4x ≡₁₅ 3 / *4 16x ≡₁₅ 12 (15+1)x ≡₁₅ 12 x = ≡₁₅ 12 zgodnie z kluczem ! teraz kilka cięższych z końca: m') {3x −y ≡₅ 7 / *4 {x+4y≡₅ 3 {12x−4y≡₅ 28 {x+4y≡₅ 3 + −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 13x ≡₅ 31 / *2 (5*5 +1)x ≡₅ 12*5 + 2 x ≡₅ 2 czyli 2 do podstawienia pod równanie z y? podstawiam do równania: 2+4y ≡₅ 3 4y ≡₅ 1 /*4 (3*5+1)y ≡₅ 4 y = ≡₅ 4 zgodnie z kluczem ! chyba juz umiem, Mila jak i inni którzy pomagacie ratujesz jak zwykle ! to następne teraz zagadnienia na kolokwium

Mila: nie mogłeś podzielić przez 2, bo 2 nie jest wspólnym dzielnikiem 8,6,15 d) 4x+2≡ 8−4x w Z₁₅ 8x=6 (mod15) /*2 16x≡12(mod15) 1x=12(mod15)