Wzór Taylora ZawszeDoGóry: Mam za zadanie obliczyć

	2
cos(		) z dokładnością do 10−4.
	10

Generalnie nie wiem gdzie tu wstawić x ... Czy zrobić tak, że cos x czy jakoś inaczej ? Samo rozpisanie wzoru Taylora mniej więcej umiem, proszę o wskazówkę

ABC: cos x=1−x²/2+x⁴/24−.. wstawiasz x=0,2 i szacujesz resztę

ZawszeDoGóry: Czyli, że

	2n
|cos(2/10) − (1 − x2/2 + x4/24 + ... + *)| = |		* cos c | c ∊ (0, 2/10)
	10n 8 n!

	2n		1
<		<
	10n 8 n!		10000

* czerwona oznacza kolejne wyrazy ale nie chce mi się ich pisać bo one zależą od pochodnej cos i są 4 przypadki. Wyszło mi, że dla n ≥ 4 i wtedy mam cosinusa ok. 0,9799(3)

ZawszeDoGóry: Czy dobrze ?

ABC: w jakiej postaci mieliście resztę w tym wzorze?

ZawszeDoGóry:

xn
	*
n!

to: −sin c, n = 4k+1 albo: −cos c, n=4k+2 albo: sin c, n=4k+3 albo: cos c, n=4k Niestety te przypadki wyszły brzydkie, więc napiszę tak. Są 4 możliwości

ABC: Ja bym zaczął tak że urwałbym szereg na x⁴/24 i zobaczył czy błąd jest wtedy ok. Jak byś to liczył? Chodzi mi o to czy wiesz z jakim numerkiem pochodna występuje w tym wzorze na resztę.

ZawszeDoGóry: Wydaje mi się, że z numerem 6, ale czemu to bym nie umiał wytłumaczyć. Wydaje mi się, że dlatego iż 5 wyraz jest 0 i w tej reszcie coś jeszcze musi przecież być

ZawszeDoGóry: Chociaż nie, na 4 czyli na x⁴/24

ABC: dobra spać mi się chce nie będe tłumaczyć pomyśl nad tym co napiszę tu f(x)=cos x f^(k)(x)= cos (x+kπ/2) cos x≈1−x²/2!+x⁴/4!−x⁶/6!+...+−x²ⁿ/(2n)! R_2n+1=x²ⁿ⁺²/(2n+2)! * cos(θx+(2n+2)π/2) |R_2n+1|≤x²ⁿ⁺²/(2n+2)!

ZawszeDoGóry: No wszystko tutaj rozumiem i umiem wytłumaczyć czemu tak a nie inaczej Ale dlaczego akurat ta reszta jest z tym numerkiem dalej nie rozumiem

ZawszeDoGóry: No nie wiem, kurczę, nie potrafię tego wymyślić

jc: Bez tw. Taylora. Wykorzystujemy nierówności: 1−x²/2 ≤ cos x ≤ 1−x²/2+ x⁴/24 Różnica pomiędzy prawą stroną a lewą jest mniejsza od x⁴/24. 0.2⁴/24 < 10⁻⁴. Wystarczy więc wziąć 1−x²/2. 0<cos 0.2 − (1−0.2²/2) < 10⁻⁴