Podprzestrzenie Arek: Zbadaj które z następujących podzbiorów przestrzeni liniowej R³ są podprzestrzeniami: A={(x, y, z); 7x=3y − 3z}, B={(x, y, z); |2x| + 5y² − 3z=2},

iteRacj@: a/ zbiór rozwiązań równania 7x=3y−3z jest podprzestrzenią liniową b/ zbiór rozwiązań równania |2x|+5y²−3z=2 nie jest podprzestrzenią liniową

Arek: Zgadza się, a pokazał byś mi jak do tego doszedłeś?

jc: A − rozwiązania jednorodnego układu równań tworzą podprzestrzeń B − rozwiązania innych równać na ogół nie tworzą podprzestrzeni. (x,y,z)=(1,0,0) jest rozwiązaniem ale (x,y,z)=2(1,0,0) już nie jest.

iteRacj@: b/ nie jest podprzestrzenią liniową bo nie należy do niej 0=(0,0,0) [dlatego że nie jest rozwiązaniem tego równania], a każda podprzestrzeń liniowa zawiera wektor zerowy

Arek: Moglibyście to jeszcze rozpisać, bo w ogóle tego nie rozumiem co i jak

iteRacj@: Niepusty podzbiór W przestrzeni liniowej P nad ciałem K jest podprzestrzenią liniową, jeśli: v, w ∊ W ⇒ v + w ∊ W, w ∊ W ⇒ α*w ∊ W dla α ∊ K a/ 7x=3y−3z ⇔ −7x+3y−3z=0 sprawdzamy czy jest spełniony warunek pierwszy zakładamy że [x₁,y₁,z₁] , [x₂,y₂,z₂] ∊ W czyli −7x₁+3y₁−3z₁=0 oraz −7x₂+3y₂−3z₂=0 −7(x₁+x₂)+3(y₁+y₂)−3(z₁+z₂)= =(−7x₁+3y₁−3z₁)+(−7x₂+3y₂−3z₂)=0+0=0 więc [x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂] ∊ W, warunek jest spełniony sprawdzamy czy jest spełniony warunek drugi zakładamy że [x₁,y₁,z₁] ∊ W α(−7x₁)+α3y₁−α3z₁=α(−7x₁+3y₁−3z₁)=α*0=0 więc [αx₁, αy₁, αz₁] ∊ W, warunek spełniony zbiór rozwiązań równania 7x=3y−3z jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej R³

iteRacj@: b/ zbiór rozwiązań równania |2x|+5y²−3z=2 nie spełnia warunku drugiego dla np. α=2 tak jak napisał jc 20:52 (x,y,z)=(1,0,0) ∊ W ale 2(1,0,0) ∉ W

jc: iteRacja, Twój argument podpada pod tą samą własność. Jeśli mielibyśmy jakieś rozwiązanie np. (1,5,2), to 0(1,5,3)=(0,0,0) też musiałoby być rozwiązaniem, a nie jest. Rzeczywiste rozwiązania równania (x+y+z)²+(x−y+z)²=0 też tworzą podprzestrzeń.