Dowód na liczbach rzeczywistych. Miszka: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c takich, że a + b + c = 3 prawdziwa jest nierówność a² + b² + c² ≥ 3.

Adamm: płaszczyzna a+b+c = 3 leży poza sferą a²+b²+c² = 3 faktycznie, ta płaszczyzna jest do niej styczna w punkcie a = b = c = 1 jest to więc geometrycznie oczywiste

Adamm: nierówność jest geometrycznie oczywista, to może wziąć geometryczną nierówność? Czyli, nierówność Jensen'a

	a+b+c		a2+b2+c2
(		)2 ≤
	3		3

Adamm: albo inna geometryczna nierówność, czyli nierówność Schwarza u = (a, b, c), v = (1, 1, 1) |vu|² ≤ v²u² (a+b+c)² ≤ 3(a²+b²+c²)

Eta: Z nierówności między średnimi kwadratową i arytmetyczną

	a2+b2+c2		a+b+c
√		≥		=1 bo a+b+c=3
	3		3

a²+b²+c²≥3

ICSP: a² + b² + c² = (a+b+c)² − 2[ab + ac + bc] ≥ (a + b + c)² − 2[a² + b² + c²] czyli

	(a+b+c)2
a2 + b2 + c2 ≥		= 3 gdy a+ b+c = 3
	3

Miszka: Dziękuję Wam wszystkim!