Relacje równoważności i klasy abstrakcji Elena: Jak wykazać,że ta relacja jest relacją równoważności oraz wyznaczyć jej klasy abstrakcji i przestrzenie ilorazowe? Gdy zaczynam od sprawdzenia czy jest zwrotna to nie wiem jak udowodnić, że tx=x,czy mogę założyć,że jest prawdziwa tylko dla t=1? X∊R; x≈y ⇔ (∃(t) t≠0)(tx = y)

iteRacj@: czy x,y,t są rzeczywiste, całkowite, naturalne?

Elena: Należą do rzeczywistych

iteRacj@: to daje szansę na relację równoważności : ) sprawdzamy zwrotność: czy dla każdego x istnieje takie t∊ℛ i t≠0, żeby tx=x ? dla t=1 1*x=x, więc x≈x i relacja jest zwrotna wystarczy, że jest to spełnione tylko dla t=1, warunek jest taki (∃(t) t≠0), t ma istnieć, może być to tylko jedna liczba

Elena: Rozumiem w takim razie: −symetryczność będzie wyglądać w ten sposób: (xRy ⇒ yRx) ⇔ (tx = y ⇒ y=tx) I tutaj również relacja jest prawdziwa tylko dla t=1 −przechodniość: ((xRy ⋀ yRz)⇒(xRz)) ⇔ ((tx=y ∧ ty=z) ⇒ (tx=z)) tutaj także dla t=1 relacja jest przechodnia Jeśli chodzi o klasy abstrakcji to czy t może być dowolne czy tylko równe 1? Czy ogólny wzór mógłby tak wyglądać: [(tx)]={(ty); t∊R}

iteRacj@: Symetryczność: pytamy, czy (xRy ⇒ yRx)

	1
tx=y ⇒		y=x (można dzielić, bo był już warunek t≠0)
	t

	1
t∊ℛ ⇒		∊ℛ
	t

czyli spełniony jest warunek że istnieje liczba rzeczywista, różna od zera przez którą mnożymy y i otrzymujemy w wyniku x, stąd wynika że para (y,x) również należy do relacji więc (xRy ⇒ yRx) relacja jest symetryczna

iteRacj@: skoro t∊ℛ\{0} to do relacji należą rónież pary x≠y np.(7, −14) bo (−2)*7=−14 (5,25) bo 5*5=25 (55,11) bo (1/5)*55=11 nie możesz zakładać że zawsze t=1 spróbuj poprawić sprawdzenie przechodniości

Elena: (xRy ⋀ yRz)⇒(xRz) a więc ( tx=y ⋀ ty=z ) ⇒ ( x=(1/t)*z ) tak?

iteRacj@: Żeby relacja była przechodnia, zależność (xRy ⋀ yRz)⇒(xRz) ma zachodzić dla każdych dwóch par np. dla (7, −14) i (55,11) a wtedy t=−2 bo (−2)*7=−14 oraz t=1/5 bo (1/5)*55=11 Jak widać dla każdej pary wartość t może być inna, musi jedynie spełniać warunek t∊ℛ\{0}. Dlatego użyjemy różnych oznaczeń dla różnych par należących do tej relacji: wx=y ⋀ uy=z

	z
y=
	u

	z
wx=
	u

(uw)x=z w,u∊ℛ\{0} ⇒uw∊ℛ\{0} Czyli para (x,z) należy do relacji, a warunek (xRy ⋀ yRz)⇒(xRz) jest spełniony.

Elena: Aa dobrze,teraz rozumiem,dziękuje! Natomiast jeśli chodzi o klasy abstrakcji to czy w tym przypadku jest konkretny wzór,aby ją wyrazić?