calki pomoc z calkami: Mam problem z nastepujacymi calkami, nie wychodza mi odpowiedzi takie jak powinny prosze o wskazowki/rozwiazania

	cos3x
1) ∫		dx
	sin2x+sinx

2) ∫ln²(x−1)dx

	2x5+6x3+1
3) ∫
	x4+3x2

4) ∫e^−3xcos2xds 5) ∫sin2xcos4xdx

	dx
6) ∫
	25−x4

z gory dziekuje za pomoc

pomoc z calkami: i co ktos ogarniety w calkach poswieci mi swoje 10min na te pare przykladow? bede wdzieczny

jo: 1) Da się przekształcić do postaci ctgx−cosx i już tego łatwo obliczyć całkę. 3) Podziel te dwa wielomiany i będzie łatwiej.

AS: 2) J = ∫ln²(x − 1)dx Podstawiam ln(x − 1) = t , x − 1 = e^t dx = e^tdt J = t²*e^tdt Całkuję przez części u = t² dv = e^tdt du = 2*t*dt v = e^t J = u*v − ∫vdu = t²*e^t − 2∫te^tdt = t²*e^t − 2*J1 gdzie J1 = ∫t*e^tdt u = t dv = e^t du = dt v = e^t J1 = t*e^t − ∫e^tdt = t*e^t − e^t J = t²*e^t − 2*t*e^t + 2*e^t J = e^t*(t² − 2*t + 2) J = (x − 1)*(ln²(x − 1) − 2*ln(x − 1) + 2) + C

Mickej: w pierwszym ja bym zastosował podstawienie t=sinx 4) ewidentnie przez częsci 5) podstawić za 2x=t a później skorzystać z wzoru na cos podwojonego kąta 6)skorzystać z tożsamości a²−b²=(a+b)(a−b) i całka funkcji wymiernych

AS:

	2*x5 + 6*x3 + 1		1
3) J = ∫		dx = ∫(2*x +		}dx
	x4 + 3*x2		x2*(x2 + 3)

	dx
J = x2 + ∫		dx = x2 + J1 gdzie
	x2*(x1 + 3)

	dx
J1 = ∫		dx
	x2*(x1 + 3)

Rozkładam ułamek na ułamki prostsze

1		A		B		C*x + D
	=		+		+
x2*(x2 + 3)		x		x2		x2 + 3

1		(A + C)*x3 + (B + D)*x2 + 3*A*x + 3*B
	=
x2*(x2 + 3)		x2*(x2 + 3)

Porównuj ac współczynniki mamy A + C = 0 B + D = 0 3*A = 0 3*B = 1 stąd wyliczymy A = 0 B = 1/3 C = 0 D = −B = −1/3

1		0		1		1		0*x − 1/3
	=		+		*		+
x2*(x2 + 3)		x		3		x2		x2 + 3

1		1		1		1
	= =		*(		−		)
x2*(x2 + 3)		3		x2		x2 + 3

	1		1		1		1		1		dx
J1 =		∫(		−		)dx		∫x−2dx −		∫		dx
	3		x2		x2 + 3		3		3		x2 + 3

	−1		1
J1 =		−		J2 gdzie
	3*x		3

	dx
J2 = ∫
	x2 + 3

Stosuję podstawienie x = √3*t dx = √3dt

	√3dt		√3		dt		√3
J2 = ∫		=		∫		=		arctg(t)
	3*t2 + 3		3		t2 + 1		3

	√3		x
J2 =		arctg(		)
	3		√3

	−1		1		√3		x
J1 =		−		*		arctg(		)
	3*x		3		3		√3

	1		√3		x
J = x2 −		−		arctg(		)
	3*x		9		√3

AS: W całce 3) na końcu proszę dopisać + C (stała) 4) J = ∫e^−3x*cos(2*x)dx Całkowanie przez części u = e^−3x dv = cos(2*x)dx

	1
du = −3*e−3xdx v =		*sin(2*x)
	2

	1		3
J = u*v − ∫vdu =		*e−3*xsin(2*x) +		∫e−3x*sin(2*x)dx
	2		2

	1		3
J =		*e−3*x*sin(2*x) +		J1 gdzie
	2		2

J1 = ∫e^−3x*sin(2*x)dx u = e^−3*x dv = sin(2*x)dx

	−1
du = −3*e−3*xdx v =		cos(2*x)
	2

	1		3
J1 = −		*e−3*x*cos(2*x) −		∫e−3*x*cos(2*x)dx
	2		2

	1		3
J1 = −		*e−3*x*cos(2*x) −		*J
	2		2

	1		3		1		3
J =		e−3*x +		(−		e−3*x*cos(2*x) −		J)
	2		2		2		2

	1		3		9
J =		e−3*x*sin(2*x) −		*e−3*x*cos(2*x) −		*J
	2		4		4

13		1
	J =		*e−3*x(2*sin(2*x) − 3*cos(2*x))
4		4

	1
J =		e−3*x*(2*sin(2*x) − 3*cos(2*x)) + C
	13

AS: 5) J = ∫sin(2*x)*cos(4*x)dx Korzystam z wzoru trygonometrycznego

	1
sin(α)*cos(β) =		*{sin(α − β) + sin(α + β)]
	2

U nas

	1
sin(2*x)*cos(4*x) =		*[sin(6*x) − sin(2*x)]
	2

	1
J =		[∫sin(6*x)dx − ∫sin(2*x)dx]
	2

	1		1		−1
J =		[−		*cos(6*x) −		*cos(2*x)]
	2		6		2

	1
J =		*[−cos(6*x) + 3*cos(2*x)] + C
	12

AS:

	dx		dx
5) J = ∫		= ∫
	25 − x4		(5 − x2)*(5 + x2)

Rozkładam na ułamki proste

1		A*x + B		C*x + D
	=		+
25 − x2		5 − x2		5 + x2

(A*x + B)*(5 + x²) + (C*x + D)*(5 − x²) = 1 Po uporządkowaniu (A − C)*x³ + (B − D)*x² + 5*(A + C)*x + 5*(B + D) = 1 Porównując współczynniki mamy A − C = 0 B − D = 0 A + C = 0 5*(B + D) = 1 Po wyliczeniu A = C = 0 B = D = 1/10

1		1		1		1
	=		*(		+		)
25 − x2		10		5 − x2		5 + x2

	1		dx		dx		1
J =		(∫		+ ∫		) =		(J1 + J2)
	10		5 − x2		5 + x2		10

	dx		dx
J1 = ∫		= ∫
	5 − x2		(√5 + x)*(√5 − x)

dx		A		B
	=		+
(√5 + x)*(√5 − x)		√5 + x		√5 − x

A*(√5 − x) + B*(√5 + x) = 1 (B − A)*x + (A + B) = 1 B − A = 0 (A + B)*√5 = 1

	1
Po wyliczeniu A = B =
	2*√5

1		1		1		1
	=		*(		+		)
5 − x2		2*√5		√5 + x		√5 − x

	1		dx		dx
J1 =		*(∫		+ ∫		)
	2√5		√5 + x		√5 − x

	1
J1 =		(ln(√5 + x) − ln(√5 − x))
	2√5

	1		√5 + x
J1 =		*ln
	2√5		√5 − x

	dx
J2 = ∫
	5 + x2

Podstawienie: x = √5*t dx = √5dt

	√5dt		√5		dt		√5
J2 = ∫		=		∫		=		*arctg(t)
	5 + 5*t2		5		t2 + 1		5

	√5		x
J2 =		*arctg(
	5		√5

AS: dokończenie zadania

	√5		x
J2 =		*arctg(		)
	5		√5

	1
J =		(J1 + J2) + C
	10

AS:

	cos3x		(1 − sin2x)*cosx
1) J = ∫		dx = ∫		dx
	sin2 + sinx		sinx*(1 + sinx)

Podstawienie: sinx = t cosxdx = dt

	(1 − t2)dt		(1 − t)*(1 + t)
J = ∫		dt = ∫		dt
	t2 + t		t*(1 + t)

	(1 − t)dt
J =		przy zał. że 1 + t ≠ 0
	t

	dt
J = ∫		− ∫1dt = ln(t) − t
	t

J = ln(sinx) − sinx + C

AS: Oczekuję potwierdzenia