Podzielność Dziel: Proszę o wskazówki: Wykaż, że liczba jest podzielna: a) 4ⁿ−1 przez 3 Widzę (2*2)ⁿ−1ⁿ=2ⁿ*2ⁿ−11=2²ⁿ−1²ⁿ, jednak nie wiem, co o tym myśleć b)11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹ przez 133 Dostrzegam 11ⁿ*121+12²ⁿ*12 i 12+121=133, tylko nie dostrzegam przejrzystego rozwiązania c) n⁶−n Wiem, że powinienem wykazać, że podzielna przez 2 i 3, ale...

iteRacj@: a/ nie myśl o tym źle c/ przez ile ma być podzielne n⁶−n?

Dziel: Och, przepraszam: c podzielne przez 6 a) Nie myśl o tym, ponieważ to jest zła myśl czy nie powinienem myśleć o tym źle, ponieważ dobra myśl?

iteRacj@: n⁶−n nie jest podzielne przez 6 dla każdego n∊N 2⁶−2=64−1=63

Kamil: a) widać że dla n początkowych działa ten wzór zakładamy że: 4^k−1=3m TEZA: 4^k+1−1=3p DOWÓD 4*4^k−1= z zał 4*(3m+1)−1=3p 12m+3−3p=0 3(4m+1−p)=0 czyli liczba jest podzielna przez 3

Dziel: b

Mila: Czy masz to wykazać za pomocą indukcji?

Blee: b) 11ⁿ⁺² = 121*11ⁿ 12²ⁿ⁺¹ = 12*12²ⁿ = 12*144ⁿ = 12*(133 + 11)ⁿ 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ = 121*11ⁿ + 12*(133 + 11)ⁿ = = 121*11ⁿ + 12*11ⁿ + 12*[133ⁿ + n*133ⁿ⁻¹*11 + .... + n*133¹*11ⁿ⁻¹] = = 133*11ⁿ + 12*[133ⁿ + n*133ⁿ⁻¹*11 + .... + n*133¹*11ⁿ⁻¹] = ... wniosek bądź jeszcze wyłącz 133 przed nawias

Blee: c) n⁶ − n = n*(n⁵−1) = n*(n−1)(n⁴ + n³ + n² + n + 1) i teraz tak: 1) masz iloczyn dwóch kolejnych liczb −−− więc dla dowolnego 'n' jedna z nich będzie parzysta (masz podzielność przez 2) 2) ale przez '3' n⁶ − n nie musi być podzielne (niech n= 2 ... wtedy masz n⁶ − n = 2⁶ − 2 = 64 − 2 = 62 ... no jak nic nie jest podzielne przez '3'

Dziel: Wielbię Was :') Dzięki! Znalazłem przed chwilą pdf z nowszym wydaniem zbioru, w którym c poprawiono na n⁵−n.

podziel: n⁵−n=n(n⁴−1)=n(n−1)(n+1)(n²+1) bo (n−1)*n*(n+1) =6u to n⁵−n =6u*(n²+1)

Dziel: n(n⁴−1)=n(n²−1)(n²+1)=n(n−1)(n+1)(n²+1) 1) Iloczyn dwóch kolejnych − podzielność przez dwa 2) Pomysł na 3

podziel: iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielny przez 6

Dziel: Dzięki