Kresy zbioru Kres: Chętni na zabawę z ograniczeniami górnymi zbioru i kresami? Proszę o wytłumaczenie na przykładzie, dlaczego kres górny stanowi najmniejsze ograniczenie górne.

Kres: Proszę o skorygowanie interpretacji: Podzbiór A=(0,1) w zbiorze liczb rzeczywistych a) Ograniczenia górne stanowią liczby x≥1 − wszystko, co od góry ogranicza A z góry od pozostałych liczb R (np. 2, 3, 4 również należą do ograniczeń górnych). b) A nie posiada największego elementu, ponieważ 1 nie należy do podzbioru. c) Jeden służy jako kres górny, ponieważ stanowi najmniejszą liczbę spośród liczb R ograniczających podzbiór A. Jeżeli przedział domknięty, wśród powyższych twierdzeń należy poprawić jedynie b, gdyż 1 będzie stanowić największy element?

jc: "kres górny stanowi najmniejsze ograniczenie górne" − to definicja b) 1 nie jest elementem zbioru {2,3,4}, ale zbiór ten posiada element największy, więc to żadne uzasadnienie. Załóżmy, że a∊A=(0,1) jest największym elementem A. Ponieważ a∊ A, więc 0<a<1, a wtedy 0<(a+1)/2<1 i (a+1)/2>a, wbrew założeniu, że a jest największą liczbą w A. Sprzeczność oznacza, że taka liczba nie istnieje.

Kres:

	a+1		a+1
0<		<1 i		>a
	2		2

1) Dlaczego dodałeś 1 do a?

	a+1
2) Skąd		>a
	2

3) Co z największym elementem zbioru? Ile wyniesie?

jc: 1) Nie rozumiem pytania. Po prostu chciałem dodać.

	a+1
2) a<1 ⇒ 2a < a+1 ⇒ a <
	2

3) Pokazałem, że założenie, że w A jest element największy prowadzi do sprzeczności. Zatem w A nie ma elementu największego.