funkcje tworzące
Miczelx: Witam, zacząłem czytać o funkcjach tworzących i od razu mam kłopot bo nie rozumiem poniższej
zależności
A konkretniej rzecz ujmując skad to po prawej stronie "sie wzielo"?
28 lis 23:15
PW: A toż to ciąg geometryczny o ilorazie x, sumujemy wyrazy o numerach od 0 do k.
28 lis 23:23
Miczelx: no ok, to po lewej to 1+x+x2+...+xk ale to po prawej to funkcja. Nie rozumiem tego związku
miedzy szeregiem a funkcją
28 lis 23:30
PW: Po lewej też jest funkcja, przecież to wyrażenie zależy od x. Dlatego mówi się o tym "funkcja
tworząca".
W tym wypadku mamy do czynienia z funkcją tworzącą dla ciągu
1, 1, 1, 1, 1,...
28 lis 23:38
Miczelx: No i właśnie mamy sumę szeregu geometrycznego, w którym a1=1 oraz q=x czyli możemy zapisać,
że:
1+x+x2+x3+...=1+x*(1+x+x2+...) i co robić dalej?
28 lis 23:41
PW: To jest zapewne ćwiczenie wstępne, które ma sprawdzić prawidłowe rozumienie definicji funkcji
tworzącej. To wszystko, chyba że było jeszcze jakieś polecenie.
"Dalej" się będą działy ciekawe rzeczy, np. wyznaczanie jawnej postaci ciągu zadanego
rekurencyjnie. Ale powoli
28 lis 23:49
Pytający:
∑
n=0∞(x
n)=x
0+∑
n=1∞(x
n)=1+∑
n=0∞(x
n+1)=1+x∑
n=0∞(x
n)
∑
n=0∞(x
n)−x∑
n=0∞(x
n)=1
(1−x)∑
n=0∞(x
n)=1
| | 1 | |
∑n=0∞(xn)= |
| // to jest funkcja tworząca nieskończonego ciągu jedynek |
| | 1−x | |
Natomiast funkcję tworzącą dla ciągu (k+1) jedynek można wyprowadzić tak:
∑
n=0k(x
n)=
=∑
n=0k(x
n)+∑
n=k+1∞(x
n)−∑
n=k+1∞(x
n)=
=∑
n=0∞(x
n)−∑
n=k+1∞(x
n)=
=∑
n=0∞(x
n)−∑
n=0∞(x
n+k+1)=
=∑
n=0∞(x
n)−x
k+1∑
n=0∞(x
n)=
=(1−x
k+1)∑
n=0∞(x
n)=
| | 1−xk+1 | |
= |
| = // znaczy w pierwszym poście masz błąd Milczelx |
| | 1−x | |
29 lis 11:29