pochodna student: oblicz pochodną

	⎧	1x−2, x≤1
h(x)=	⎩	x2−3x. x>1

w x=1

ABC: dla x≠1 to normalnie, a w punkcie x=1 ta funkcja nie jest ciągła, więc nie jest w tym punkcie różniczkowalna

student: no ale przecież pochodne lewostronne i prawostronne są równe

ABC: policz sobie prawidłowo z definicji pochodną prawostronną, pamiętaj że dla x=1 wartość funkcji bierzesz z górnej części klamerki

Jerzy: Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀ , to jest ciągła w tym punkcie. Tutaj funkcja w punkcie x = 1 jest nieciagła, a więc nie jest różniczkowalna w tym punkcie. Równośc pochodnych lewo i prawostronnej nie ma zastosowania w punkcie nieciagłości.

ABC:

	f(x)−f(1)		x2−3x−(−1)		x2−3x+1
lim(x→1+)		=lim(x→1+)		=lim(x→1+)		=−∞
	x−1		x−1		x−1

dotarło? że pochodne jednostronne nie są równe?

student: czemu liczysz f(1) a nie f(1⁺) ?

student: halo?

ABC: 12.01→ to jest pochodna prawostronna z definicji wartość funkcji w punkcie 1, zarówno przy liczeniu lewo jak i prawostronnej pochodnej jest taka sama patrz góra klamerki , jest tam znak ≤ prościej nie potrafię tego wytłumaczyć

student: nie rozumiem

ABC: twoja strata

student: wytłumacz mi a nie

ABC: jeśli tego nie rozumiesz, wystarczy to co podał Jerzy , i ja w poście z godz 11.37 funkcja nie będąca ciągłą nie może być różniczkowalna, jest to jedno z podstawowych twierdzeń, zwykle dowodzone na wykładzie

Pytający: Studencie, a może spróbuj odpowiedzieć, dlaczego miałoby tam być f(1⁺) a nie f(1)? (jeśli odpowiedź brzmi "bo tak mi się wydaje", to jest spora szansa, że właśnie tylko tak Ci się wydaje) Taką masz definicję pochodnej prawostronnej f(x) w punkcie x₀:

	f(x0+h)−f(x0)
limh→0+
	h

Równoznaczny zapis:

	f(x)−f(x0)
limx→x0+
	x−x0

Wyżej liczysz dla x₀=1 i żadnych czarów tu nie ma.

student: ale nie rozumiem czemu tam wyszło −∞

ABC: dlatego że w gdy x jest "troszeczkę" większe niż jeden, to otrzymujesz ułamek, w którym licznik jest liczbą ujemną , bliską −1, a mianownik "troszeczkę

ABC: większy od zera"