Miara zewnętrzna Lebesgue'a Miara i całka Lebesgue'a: Niech A,B⊂R będą zbiorami ograniczonymi z dołu. Pokazać, że: a) inf_a∊A a<m ⇔ ∃_a∊A a<m b) inf_a∊A a≤m ⇔ ∀_ε>0 ∃_a∊A a≤m+ε ⇔ ∀_ε>0 ∃_a∊A a<m+ε ←∃_a∊A a≤m ← ∃_a∊A a<m c) m< inf_b∊B b ⇒ ∀_b∊B m<b d) m≤ inf_b∊B b ⇔ ∀_b∊B m≤b e) inf_a∊A a < inf_b∊B b ⇔ ∃_a∊A ∀_b∊B a<b f) inf_a∊A a ≤ inf_b∊B b ← ∀_b∊B ∃_a∊A a≤b ← ∀_b∊B ∃_a∊A a<b g) inf_a∊A a ≤ inf_b∊B b ⇔ ∀_ε>0 ∀_b∊B ∃_a∊A a<b+ε ← oznacza ⇒ (w drugą stronę)

Adamm: a jakieś własne starania? To jest żmudna robota

Miara i całka Lebesgue'a: zaraz wyślę co zrobiłam, choć nie mam pewności czy jest dobrze

Miara i całka Lebesgue'a: b) ∃a∊A a<m ⇒ ∃a∊A a≤m − oczywiste infa∊A a≤m ⇔ ∀ε>0 ∃a∊A a≤m+ε ⇒ a0 = infa ≤ m ⇒ a0≤m ⇒ ∀a∊A a0 ≤a ∧ ∀ε>0 ∃a∊A a0+ε>a ⇒ ∀ε>0 ∃a∊A m+ε≥a ← ∀ε>0 ∃a∊A a≤m+ε ⇒ ∀ε>0 infA ≤ m+ε ⇒ infε>0 (infa) ≤ infε>0 (m+ε) ⇒ infa ≤ m Proszę chociaż o sprawdzenie czy jest ok i ewentualne wskazanie błędów

Miara i całka Lebesgue'a: ∃ oznaczam Ist ∀ oznaczam Dk − zebym mogla szybciej pisac e) Ist_a∊A Dk_b∊B a<b ⇒ Ist_a∊A a≤inf B Ist_a∊A inf A ≤ a ≤ inf B f) Dk_b∊B Ist_a∊A infA ≤ a ≤ b ⇒ Dk_b∊B infA≤b ⇒ infA ≤infB nie wprost infA=a₀ infB=b₀ b₀<a₀ Dk_ε Ist_b b₀+ε>b ε=(a₀−b₀)/2 a₀>(b₀+a₀)/2>b ale ∀_b∊B b≥a₀ albo infB<a₀ ⇒ Ist_b∊B b<a₀ Dk_ε Ist_b b₀+ε>b

Adamm: a) k = inf_a∊A a ∀ ε>0 ∃ a∊A : a<k+ε jeśli k<m, to biorąc ε = m−k>0, dla a takiego jak w definicji infimum mamy a<m odwrotnie, jeśli a<m dla pewnego a∊A, to k≤a<m b) ∃ a∊A : a<m ⇒ (oczywiste) ∃ a∊A : a≤m ⇒ (oczywiste) ∀ ε>0 ∃ a∊A : a<m+ε ⇒ (oczywiste) ∀ ε>0 ∃ a∊A : a≤m+ε ⇒ (oczywiste) k≤m jeśli k≤m, to ∀ ε>0 ∃ a∊A : a<k+ε ⇒ ∀ ε>0 ∃ a∊A : a≤m+ε jeśli ∀ ε>0 ∃ a∊A : a≤m+ε, to ustalmy ε>0, to istnieje takie a∊A, że a≤m+ε/2<m+ε, zatem ∀ ε>0 ∃ a∊A : a<m+ε

Adamm: d) p = inf_b∊B b ustalmy b∊B załóżmy że m≤p, to m≤p≤b stąd ∀_b∊B m≤b bo b było dowolne jeśli ∀_b∊B m≤b, to z definicji infimum, dla danego ε>0 istnieje b∊B, że m≤b<p+ε ponieważ ε jest dowolne, to m≤p g) k = inf_a∊A a, p = inf_b∊B b k≤p ustalmy ε>0, to istnieje a∊A że dla dowolnego b∊B a−ε<k≤p≤b skąd ∀_ε>0 ∃_a∊A ∀_b∊B a<b+ε teraz niech ∀_ε>0 ∃_a∊A ∀_b∊B a<b+ε ustalmy ε>0, istnieje b∊B, że b<p+ε/2 z założenia, istnieje a∊A, że a<b+ε/2 stąd k≤a<b+ε/2<p+ε k≤p bo ε było dowolne

Miara i całka Lebesgue'a: Mam pytanie do podpunktu a) Czy w definicji ∀ ε>0 ∃ a∊A : a<k+ε nie powinno być czasem ∀ ε>0 ∃ a∊A : a≤k+ε − przez to dalsza część już nie pasuje, ale wydaje mi się że nierówność ma być nieostra albo po prostu czegoś tu nie rozumiem

Adamm: ma być ostra, zdecydowanie

topologia: ok, muszę uwierzyć, że tak jest a w podpunkcie b dowód w prawą stronę, ostatni krok niestety nie jest dla mnie oczywisty ∀ ε>0 ∃ a∊A : a≤m+ε ⇒ (oczywiste) k≤m da się to jakoś wytłumaczyć?

Miara i całka Lebesgue'a: ok, muszę uwierzyć, że tak jest emotka a w podpunkcie b dowód w prawą stronę, ostatni krok niestety nie jest dla mnie oczywisty ∀ ε>0 ∃ a∊A : a≤m+ε ⇒ (oczywiste) k≤m da się to jakoś wytłumaczyć?