indukcja Piotr: Cześć. Mam kilka zadań z indukcji i chciałbym się dopytać czy mogę to robić w sposób przedstawiony niżej n³<2ⁿ Na początku sprawdzam, dla jakich n zachodzi taka nierówność. Wyszło, że dla n>=10. 1) Sprawdzam dla n=10 n³=1000<2ⁿ=1024 2) Zakładam, że n³<2ⁿ dla pewnego n>=10 3)Pokazuje, że (n+1)³<2ⁿ⁺¹ L=n³+3n+3n+1<2ⁿ+3n²+3n+1< I tu teraz moje pytanie czy mogę od razu napisać, że 3n²+3n+1<2ⁿ wtedy bym miał 2ⁿ+2ⁿ=2*2ⁿ=2ⁿ⁺¹ czy muszę też zrobić kolejną indukcją

iteRacj@: dla n≥10 3n²+3n+1<10n²≤n*n²=n³ więc L=n³+3n+3n+1<2ⁿ+3n²+3n+1<2ⁿ+n³<2ⁿ+2ⁿ<2ⁿ⁺¹

Piotr: A co z takim przykładem. 25| 2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4 1) Sprawdzam dla n=0, 25|0, ok. 2)Zakładam, że 25| 2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4 dla pewnego n∊N 3) Pokazuje, że 25| 2ⁿ⁺³*3ⁿ⁺¹+5(n+1)−4 2*2ⁿ⁺²*3*3ⁿ+5n+5−4 =6*2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4+5 z założenia 25|6*2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4, ale co wtedy z tą 5? Czy inaczej to zapisać?

ABC: rozpisz dobrze tak żeby założenie indukcyjne wykorzystać jedna 5 będzie widoczna od razu, a drugą wydusisz z pomocniczego faktu: 5|(2ⁿ⁺²3ⁿ+1)

iteRacj@: @Piotr w założeniu indukcyjnym (pkt 2) występuje wyrażenie 2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4 założenie zapisane przez Ciebie w ostatniej linijce 21:14 jest błędne wielokrotność liczby 6 i wyrażenia z założenia będzie oczywiście wielokrotnością 25 ale może wyglądać tylko tak: 6(2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n−4)= 6*2ⁿ⁺²*3ⁿ+6*5n−6*4 i taka postać musi się pojawić (oprócz innych składników, jak napisał ABC)

Piotr: Dobra już łapie, dzięki za pomoc!