Granica ciągu simon5005: Wyznacz granicę ciągu: lim_n−>∞ √4ⁿ−3ⁿ Wiem, że należy to zrobić z twierdzenia o 3 ciągach. Od góry możemy ograniczyć sobie ten ciąg: ⁿ√4ⁿ = 4 A jak sprawa ma się z drugiej strony?

Leszek: Czy to jest pierwiastek drugiego stopnia czy n − tego ? ?

simon5005: n−tego, przepraszam, uciekło mi to w zapisie.

jc: 4ⁿ > 4ⁿ−3ⁿ = 4ⁿ⁻¹ + 3 (4ⁿ⁻¹ − 3ⁿ⁻¹) > 4ⁿ /4

fafafa: lim_n−>∞ ⁿ√4ⁿ−3ⁿ = lim_n−>∞ ⁿ√4ⁿ(1−(3/4)ⁿ= 4 lim_n−>∞ ⁿ√(1−(3/4)ⁿ=4 wiesz dlaczego lim_n−>∞ ⁿ√(1−(3/4)ⁿ =1 ?

Leszek: @fafafa podales dobry sposob ale zniknal Ci czlon ⁿ√4ⁿ Wazne sa granice lim_n→∞ (a/b)ⁿ = 0 , dla a< b , oraz ∞ dla a>b .

jc: fafafa Jeśli 0 ≤ a ≤ 1, to ⁿ√a ≥ a. Zatem, ⁿ√1−(3/4)ⁿ ≥ 1 − (3/4)ⁿ. Oczywiście 1 ≥ ⁿ√1−(3/4)ⁿ. (3/4)ⁿ →0. Wniosek: ⁿ√1−(3/4)ⁿ →1.

simon5005: Dziękuję za odpowiedzi

fafafa: @Leszek nie zniknął mi człon ⁿ√4ⁿ @jc obliczyłem inaczej lim_n−>∞ ⁿ√1−(3/4)ⁿ=lim_n−>∞ e^{ln(n√1−(3/4)n)}=lim_n−>∞ e^{1/n *ln(1−(3/4)n)}= teraz rozpisuje wykładnik − bo już nie widać w tym programie lim_n−>∞ 1/n* ln(1−(3/4)ⁿ) = 0 zatem lim_n−>∞ e^{1/n *ln(1−(3/4)n)}=e⁰=1

jc: fafafa, w rachunku korzystasz z ciągłości funkcji exp i pewnych własności funkcji log. Równie dobrze można było napisać od razu wynik.