rozwiazanie ogolne rozniczkowe Borsuk11: Znalezc rozwiazanie ogolne rownania rozniczkowego: (2t+1)²y''+(2t+1)y'+y=0 , Dziele przez (2t+1)²

	y'		y
y''+		+		=0
	2t+1		(2t+1)2

podstawiam u=y'

	u		1
u'+		+całka(		)du=0 Nie wiem czy dobrze zamienilem y, no i nie wiem co
	2t+1		2t+1

dalej

Mariusz: Wypróbuj Eulerowego podstawienia 2t+1 = e^x

	dx
2 = ex
	dt

	dx
2=(2t+1)
	dt

	dx
2e−x=
	dt

dx		2
	=
dt		2t+1

	dy
(2t+1)y'=(2t+1)
	dt

	dy	dx
(2t+1)y'=(2t+1)
	dx	dt

	dy
(2t+1)y'=2
	dx

	d		dy	dx
(2t+1)2y''=(2t+1)2		(			)
	dt		dx	dt

	d		dy
(2t+1)2y''=e2x		(		2e−x)e−x
	dx		dx

	d2y		dy
(2t+1)2y''=e2x(		2e−x−2e−x		)e−x
	dx2		dx

	d2y		dy
(2t+1)2y''=2e2xe−2x(		−		)
	dx2		dx

	d2y		dy
(2t+1)2y''=2(		−		)
	dx2		dx

	d2y		dy		dy
2		−2		+2		+y=0
	dx2		dx		dx

	d2y
2		+y=0
	dx2

d2y		1
	+		y=0
dx2		2

Mariusz: Chyba błąd w rachunkach

	d		dy
(2t+1)2y''=e2x		(		2e−x)2e−x
	dx		dx

	d2y		dy
(2t+1)2y''=4(		−		)
	dx2		dx

	d2y		dy
(2t+1)2y''=4		−4
	dx2		dx

Co daje nam

	d2y		dy		dy
4		−4		+2		+y=0
	dx2		dx		dx

	d2y		dy
4		−2		+y=0
	dx2		dx

Równanie jest liniowe o stałych współczynnikach więc możesz napisać równanie charakterystyczne Bez tego podstawienia musiałbyś zgadywać całkę szczególną i obniżać rząd równania

jc: Mariusz, bardzo ładnie

Mariusz: Podstawienie to mamy w książkach takich jak Gewert Skoczylas W zbiorze zadań Krysickiego dla równania ax²y''+bxy'+c=0 prognozowane jest rozwiązanie postaci x^r a następnie wstawiając je do równania otrzymywaliśmy równanie charakterystyczne Ja jednak wolę podstawienie sprowadzające do równania o stałych współczynnikach chociażby ze względu na to że po tym podstawieniu widać postać rozwiązania np dla wielokrotnych pierwiastków równania charakterystycznego

Borsuk11: czyli teraz to bedzie tak. 4λ²−2λ+1=0

	1+√3
λ1=
	4

	1−√3
λ2=
	4

i dalej rozwiązanie ogólne

	√3x		√3x
y(X,C) = ex/4 * cos(		} * C1 + ex/4 * sin(		} * C2
	4		4

To wszystko. Dziękuje za poprzednie odpowiedzi i czy mógłby ktoś sprawdzić?

Adamm: https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_r%C3%B3%C5%BCniczkowe_Eulera

Borsuk11: Czyli wszystko jest ok? No bo zostało tylko równanie liniowe o stałych współczynnikach.

Mariusz: Można jeszcze wrócić do zmiennej t