Znaleźć rozwiązanie ogólne równania Adam: Znaleźć rozwiązanie ogólne równania. y^IV+2y^II+y=t Jest ktoś w stanie pomóc z rozwiązaniem tego? Nie bardzo wiem jak to zrobić. Dziękuję za pomoc z góry.

Adamm: x⁴+2x²+1 = 0 rozwiąż

Adam: Dlaczego +1 a nie +y?

Blee: xⁿ −−− n'ta pochodna funkcji y

Adamm: a dlaczego niby miałoby być +y ? I tutaj nie występuje, mylisz pojęcia

Adamm: "y" tutaj nie występuje

Adam: To równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych

Adamm: otrzymasz ±i jako podwójne rozwiązania ±i oznacza obecność cos(t) i sin(t) ogólnie a±bi oznacza obecność e^atsin(bt) i e^atcos(bt) jako że to pierwiastki podwójne, całość mnożymy przez wielomian stopnia 1 y = (C₁t+C₂)cos(t)+(C₃t+C₄)sin(t) to nasze rozwiązanie równania jednorodnego patrzymy na część niejednorodną występuje tam wielomian stopnia 1 zatem wstępne rozwiązanie niejednorodne to y = At+B nie występuje on w równaniu jednorodnym, więc zostawiamy już taki wielomian wyznaczamy współczynniki A i B przez podstawienie do wyjściowego równania (At+B)⁽⁴⁾+(At+B)''+(At+B) = t A = 1, B = 0 rozwiązanie to y = (C₁t+C₂)cos(t)+(C₃t+C₄)sin(t)+t

Adamm: to nie ważne że nie ma, rozwiązujesz w zespolonych

Leszek: @Adam to rownanie : x⁴ + 2x² + 1 = 0 , jest to tzw.rownanie charakterystyczne , czyli r⁴ + 2r² + 1 = 0 ⇔ ( r² + 1 )² = 0 ⇒ r₁ = i Popatrz do podrecznika jak rozwiazuje sie rownania rozniczkowe o stalych wspolczynnikach !

Adamm: W(x) = x⁴+2x²+1 chodziło mi o pierwiastki takiego wielomianu, bo pojęcie "rozwiązanie podwójne równania" to wrażliwy temat "nie występuje on w równaniu jednorodnym" w rozwiązaniu równania jednorodnego

Adam: Musze to przeanalizować i zrozumieć. Dzięki za pomoc