Jak nazywa się taki zbiór A^B? takidrugi: Czy mógłby mi ktoś wyjaśnić najlepiej na przykładach zbiór następująco definiowany: A^B = {f⊂AxB: f jest funkcją ⋀ dom(f)=B ⋀ rng(f)⊂A} Czy taki zbiór (zbiór funkcji, a może po prostu funkcja?) ma jakąś swoją własną nazwę? Próbuję go zrozumieć na przykładzie zbioru: {4,5}^{0,1}, wtedy f⊂{0,1}x{4,5}={ (0,4),(0,5),(1,4),(1,5) }, więc jak rozumiem ten zbiór {4,5}^{0,1} będzie miał elementy spośród zbioru { (0,4),(0,5),(1,4),(1,5) } spełniające warunki: każdy z podzbiorów ma być funkcją − co przy przykładzie, gdzie nie bierzemy rodziny zbiorów jest zawsze spełniony, bo każda pojedyncza para jest funkcją a następne dwa warunki dom(f)=B i rng(f)=A nie są spełnione zawsze? Czy nie gwarantuje tego już zapis f⊂AxB?

Pytający: Nie miało być A^B={f⊂BxA: f jest funkcją ⋀ dom(f)=B ⋀ rng(f)⊂A}? A^B to zbiór wszystkich funkcji B→A Znaczy każdy element zbioru A^B to funkcja, której dziedziną jest B, i której zbiór wartości zawiera się w A. Takich funkcji jest |A|^|B| (każdy z |B| argumentów może przyjąć jedną z |A| wartości). Co do przykładu: {f⊂{0,1}x{4,5}} to zbiór wszystkich podzbiorów {0,1}x{4,5}={ (0,4),(0,5),(1,4),(1,5) } |{f⊂{0,1}x{4,5}}|=2⁴=16 {f⊂{0,1}x{4,5}: f jest funkcją}= { ∅, { (0,4) }, { (0,5) }, { (1,4) }, { (1,5) }, { (0,4),(1,4) }, { (0,4),(1,5) }, { (0,5),(1,4) }, { (0,5),(1,5) } }

	2 0		2 1		2 2
|{f⊂{0,1}x{4,5}: f jest funkcją}|=		*20+		*21+		*22=(1+2)2=32=9

{4,5}^{0,1}={f⊂{0,1}x{4,5}: f jest funkcją ∧ dom(f)={0,1}}= { { (0,4),(1,4) }, { (0,4),(1,5) }, { (0,5),(1,4) }, { (0,5),(1,5) } } |{4,5}^{0,1}|=2²=4 Warunek rng(f)⊂A faktycznie wydaje się zbędny, gdyż wynika to z f⊂BxA. Acz na pewno ów warunek nie zaszkodzi.

takidrugi: Tak, definicje zbioru błędnie przepisałem, Ty podałeś ją w poprawnej formie.

takidrugi: A dlaczego jak już używać dwóch warunków to przy dom(f) mamy równość, a przy rng(f) zawieranie? Czy z f⊂BxA nie wynika, że dom(f)⊂B, a nie =B?

Pytający: "Czy z f⊂BxA nie wynika, że dom(f)⊂B, a nie =B?" Tak, z f⊂BxA wynika dom(f)⊂B i właśnie dlatego warunek dom(f)=B nie jest zbędny. Gdyby było dom(f)⊂B to w tym zbiorze byłyby również funkcje, których dziedzina jest podzbiorem właściwym B. Zresztą widzisz to w podanym wyżej przykładzie, bo: {f⊂{0,1}x{4,5}: f jest funkcją} = {f⊂{0,1}x{4,5}: f jest funkcją ⋀ dom(f)⊂{0,1}} // ten warunek nic nie zmienia, bo dom(f)⊂{0,1} wynika z f⊂{0,1}x{4,5}