Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y martisia: Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y takich, że |x|≠|y| prawdziwa jest nierówność (x−y)(x³+y³)/(x+y)(x³−y³) > 1/3 Proszę o wyjaśnienie, wskazówkę, rozwiązanie. Rozwinęłam, ze wzorów skróconego mnożenia (x³+y³) oraz (x³−y³), nie wiem co dalej.

Blee:

(x−y)(x3+y3)		(x−y)(x+y)(x2 − xy + y2)
	=		=
(x+y)(x3−y3)		(x−y)(x+y)(x2+xy+y2

	x2+y2 − xy		2xy
=		> 1 −		> (*)
	x2+y2 + xy		x2 + y2 + xy

// (x − y)² > 0 ⇔ x² + y² > 2xy

	1		1
// jeżeli a > c (oczywiście, a ≠ −b oraz c ≠ −b), to		<		⇔
	a+b		c+b

	1		1
//⇔ −		> −
	a+b		c+b

	2xy		2		1
(*) > 1 −		= 1 −		=
	2xy + xy		3		3

PW: Nie ściągałem, spróbowałem trochę inaczej: Licznik (x−y)(x+y)(x²−xy+y²) Mianownik (x+y)(x−y)x²+xy+y²) Po uproszczeniu ułamka (tu wykorzystujemy założenie |x|≠|y|) zostaje

(x2−xy+y2)		1
	>
(x2+xy+y2)		3

(x−y)2+xy		1
	>
(x−y)2+3xy		3

Jeżeli xy>0, to mianownik jest dodatni, a więc równoważna jest nierówność 3(x−y)²+3xy > (x−y)²+3xy 2(x−y)² > 0 − nierówność prawdziwa przy załozeniu x≠y wynikającym z x|≠|y|. A co będzie dla xy<0?