grupy grupy: Okreslic dwa rozne monomorfizmy f, g: (Z₅, +₅)→(Z₁₀, +₁₀). Monomorfizm to homomorfizm roznowartosciowy. Tw. Cayley'a: Dla dowolnej grupy G istnieje monomorfizm h:G→S_G (S_G to grupa bijekcji G). Czy to sie moze tu przydac? Ale jak to zastosowac?

jc: generator Z₅ → generator podgrupy cyklicznej rzędu 5 w Z₁₀ Mamy 4 takie monomorfizmy (wystarczy nam obraz generatora): 1 →2 1 →4 1 →6 1 →8

grupy: Niech H<Z₁₀, |H|=5. H={0,2,4,6,8}. Generatory w H to:2,4,6,8. Ich rzedy to 5. Czyli to beda nawet izomorfizmy.

grupy: Np. f(0)=0 f(1)=4 f(2)=6 f(3)=8 f(4)=2 wtedy f(3+₅ 4)=f(r₅(7))=f(2)=6, ale f(3)+₁₀ f(4)=8+₁₀ 2=r₁₀(10)=0 dlaczego?

grupy: Juz wiem dlaczego. Bo powinno byc: f(0)=0 f(1)=4 f(2)=8 f(3)=2 f(4)=6

Adamm: To nie mogą być izomorfizmy, grupy nie mają nawet równej liczby elementów. jeśli x ma rząd k α(x)^k = α(x^k) = α(e) = e m = ord(α(x)) ≤ k teraz jeśli α jest monomorfizmem, to α(x)^m = e ⇒ α(x^m) = α(e) ⇒ x^m = e zatem m ≥ k skąd α(x) ma rząd k Otrzymujemy twierdzenie: Monomorfizm przekształca elementy rzędu k na elementy rzędu k. jedyne elementy Z₁₀ rzędu 5 to 2, 4, 6, 8, tworzą one grupę cykliczną wraz z 0 mamy więc dokładnie 4 monomorfizmy φ, wyznaczone jednoznacznie przez równość φ(1) = x gdzie x to może być jedna z liczb 2, 4, 6, 8

grupy: Ok. Dziekuje